Differenzbetragsrechnung

Ausgangspunkt dieser Umrechnung ist die Differenz, bzw. der Unterschied der Größen (tib.: bar-khyad) eines örtlichen Messgerätes und des Normalmessgerätes. Der mit dem lokalen Messgerät ermittelte Gesamtbetrag wird zweimal platziert.

Mit dem Bruch, der das Teilverhältnis von diesem Differenzbetrag zur Größe des Normalmaßes (1 khal oder 20 bre, gemessen mit der gtan-tshigs mkhar-ru) angibt, errechnet man, z. B. mit dem vorstehend beschriebenen Verfahren, aus der Größe des mit dem örtlichen Messgerät ermittelten Gesamtbetrages die Differenz zu dem zu errechnenden Gesamtbetrag. Dieser Differenzbetrag wird dann von dem gemessenen Gesamtbetrag subtrahiert.

Ist also M die gemessene Gesamtmenge, x die Differenz der Größen der Messgeräte und MN der zu errechnende Gesamtbetrag, so rechnet man MN = M − M•(x/20) für den Fall, dass das Normalmaß größer als das Volumen des örtlichen Messgerätes ist.

Beispiele:

Besitzt das lokale Messgerät die Größe von 16 bre und 4 phul, so ist die Differenz zu einem khal des Normalmaßes 3 bre und 2 phul. Man errechnet aus der Gesamtmenge mit dem Umrechnungsfaktor ¹⁄₆ einen neuen Betrag (eine neue Steinchenmenge) und zieht das Ergebnis von der Gesamtmenge ab.

Besitzt das lokale Messgerät die Größe von 17 bre und 3 phul, so ist die Differenz zu einem khal des Normalmaßes 2 bre und 3 phul. Man errechnet aus der Gesamtmenge mit dem Umrechnungsfaktor ¹⁄₈ einen neuen Betrag (eine neue Steinchenmenge) und zieht das Ergebnis von der Gesamtmenge ab.

Verkettung von Steinmengen

Umrechnung eines als Steinchenmenge niedergelegten Gesamtbetrages durch sukzessives Ausrechnen von miteinander verbundenen Teilbeträgen (tib.: sngon ma'i cha 'gros; „Gehen unter Orientierung an vorausgegangenen Teilbeträgen“), die anschließend addiert werden.

Formelmäßig lässt sich dies wie folgt darstellen: Ist M der Ausgangsbetrag, MN der zu errechnende Betrag, V das Verhältnis (Bruch) der Größe des lokalen Messgerätes zum Normmessgerät (20 khal), und sind x, y, und z unterschiedliche Brüche, so lautet die Rechenvorschrift MN = M•x + (M•x)•y + (M•x•y)•z. Dabei muss V = x + x•y + x•y•z gelten.

Man rechnet also ausgehend von M mit M•x=M1 zunächst einen Teilbetrag M1 aus, der als Steinchenmenge rechts neben M platziert wird.

Aus dieser Ergebnismenge errechnet man eine zweite Steinchenmenge mit M1•y=M2, welche rechts neben M1 platziert.

Aus M2 erstellt man eine weitere Steinmenge durch M2•z, welches man rechts neben M2 platziert. Das Ergebnis sind vier Steinchenmengen, nämlich

M, (M•x), (M•x•y), (M•x•y•z)

oder

M, M1, M2, M3.

Das Umrechnungsergebnis ergibt sich dann durch

M1 + M2 + M3.

Mit Zahlen ausgedrückt z. B.:

${\displaystyle M,\left(M\cdot {\frac {1}{4}}\right),\left(M\cdot {\frac {1}{4}}\ \cdot {\frac {1}{2}}\right),\left(M\cdot {\frac {1}{4}}\ \cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\right)}$

Das Ergebnis der Umrechnung ergibt sich aus dem Zusammenlegen (Addition) der drei errechneten Steinchenmengen, also:

${\displaystyle \left(M\cdot {\frac {1}{4}}\right)+\left(M\cdot {\frac {1}{4}}\ \cdot {\frac {1}{2}}\right)+\left(M\cdot {\frac {1}{4}}\ \cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{4}}\right)}$

Beispiel:

Beträgt die Größe eines örtlichen Messgerätes 1 bre, 1 phul und 1/3 phul des Normalmaßes, so rechnet man die mit dem örtlichen Messgerät ermittelte Gesamtmenge M mit dem Bruch

x = ¹⁄₂₀ um:

M1 = M•x = M•¹⁄₂₀.

Das Ergebnis M1 rechnet man mit dem Bruch y = ¹⁄₆ um:

M2 = M1•y = M1•¹⁄₆.

Dieses Ergebnis M2 wiederum rechnet man mit dem Bruch z = ¹⁄₃ um:

M3=M2•¹⁄₃.

Das Ergebnis der Gesamtrechnung ergibt sich durch die Addition dieser drei Teilbeträge M1, M2 und M3.

Grundlage dieser Umrechnungsmethode ist das Zerlegen von Brüchen. Im vorstehenden Beispiel ist nämlich das Größenverhältnis des örtlichen Messgerätes zum Normmessgerät

${\displaystyle {\frac {11}{180}}\;=\;{\frac {22}{360}}\ ={\frac {18}{360}}\ +{\frac {3}{360}}\ +{\frac {1}{360}}\ }$.

Dies ist wiederum

${\displaystyle {\frac {1}{20}}\;+\;{\frac {1}{20\cdot 6}}\;+\;{\frac {1}{20\cdot 6\cdot 3}}}$

Entsprechend dem vorstehenden Beispiel sei die Ausgangsmenge 720 khal, gemessen mit dem lokalen Messgerät.

Differenzbetragsrechnung mittels Zinsaufschlags- und Zinsabschlagssätzen für Darlehen

Bei diesem Umrechnungsverfahren findet eine den tibetischen Mathematikern geläufige Methode der Zinseszinsberechnung Anwendung. Dabei bezeichnet ’bun sowohl den zuzüglich Zinsen und Zinseszins geschuldeten Darlehensbetrag als auch den Zinssatz. Hierbei werden zwei unterschiedliche Methoden der Berechnung von Schulden unterschieden, nämlich die dbus 'bun (zentraltibetischer Zinssatz: „Bei Zweien kommt Einer als Zins hinzu“ = 50 % Zinsen) und die gtsang 'bun (Zinssatz für die Region gTsang: „Bei Dreien kommt Einer als Zins hinzu“ = 33 ¹⁄₃ % Zinsen).

Ausgangspunkt ist in der Regel die Berechnung des ursprünglichen geschuldeten Darlehensbetrages unter Verzicht auf die Zinsen für ein Jahr oder mehrere Jahre. Dabei werden die jährlich angefallenen Zinsen berechnet und sukzessiv vom Schuldbetrag abgezogen.

Dazu multipliziert man den Betrag, der den aktuellen Schuldenstand ausmacht, bei dem dbus-'bun genannten Zinssatz für ein Jahr mit ¹⁄₃ (dbus 'bun gcig bcag „Reduzierung um den Zinssatz Zentraltibets für ein Jahr“) und zieht das Ergebnis von der Ausgangsmenge ab, was einer Multiplikation mit ²⁄₃ entspricht. Für zwei Jahre wird dies ausgehend vom zuvor errechneten Schuldbetrag wiederholt (dbus 'bun gnyis bcag „Reduzierung um den Zinssatz Zentraltibets für zwei Jahre“) und für ein eventuelles drittes Jahr wird dies dann noch einmal durchgeführt (dbus-'bun gsum bcag „Reduzierung um den Zinssatz Zentraltibets für drei Jahre“). Bei dem Zinssatz der Provinz gTsang (tib.: gtsang-'bun) rechnet man nicht mit dem Bruch ¹⁄₃ sondern mit ¹⁄₄.

Für die Umrechnung der Größen von Getreidemengen ist dieses Verfahren dann z. B. anwendbar, wenn die Größe des lokalen Messgerätes oder die Differenz dieses Betrages zu einem khal des Normaßes einem in der Zinseszinsrechnung auftretenden Bruch entspricht. Beispielsweise entspricht ³⁄₄• ³⁄₄• ³⁄₄ der Maßgröße 8 bre + 2 phul + ¹⁄₂ + ¹⁄₈ phul und ²⁄₃•²⁄₃ entspricht der Maßgröße 8 bre + 5 phul + ¹⁄₃ phul.

Beispiel:

Das örtliche Messgerät fasst 1 khal, 8 bre, 5 phul und ¹⁄₃ phul des Normalmaßes (1 khal oder 20 bre, gemessen mit dem gtan-tshigs mkhar-ru). Der Gesamtbetrag (M), der mit dem örtlichen Messgerät ermittelt wurde, wird zweimal platziert. Der zweitplatzierte Betrag wird mit zweifachem Zinsabschlag reduziert. Tibetisch sukzessive gerechnet bedeutet dies MD1 = M − M•¹⁄₃, MD2 = MD1 − MD1•¹⁄₃. Direkt gerechnet: MD2 = M•²⁄₃•²⁄₃. Dies ergibt den Unterschiedsbetrag. Dieser Unterschiedsbetrag MD2 wird zu dem erstplatzierten Betrag M addiert.

Verifikation: Die Differenz zwischen der Größe des lokalen Messgerätes und dem Normalmaß beträgt 8 bre, 5 phul und ¹⁄₃ phul. Zur Probe wird mit M = 1 khal gerechnet. Dies ergibt 1•²⁄₃•²⁄₃ = ⁴⁄₉ khal = ⁸⁰⁄₉ bre = 8 bre + ⁸⁄₉ bre = 8 bre + ⁴⁸⁄₉ phul = 8 bre + 5 phul + ³⁄₉ phul = 8 bre + 5 phul + ¹⁄₃ phul.