Majorana-Fermionen sind in der Elementarteilchenphysik Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen), deren Antiteilchen die gleichen Eigenschaften haben wie die Teilchen selbst. Sie wurden nach Ettore Majorana benannt.

Majorana-Fermionen tragen insbesondere keine elektrische Ladung, denn andernfalls trügen Teilchen und Antiteilchen entgegengesetzte Ladungen und wären somit klar unterscheidbar, wie z. B. Elektronen und Positronen. Solche Fermionen, die eine Ladung tragen können, werden als Dirac-Fermionen bezeichnet.

Von den Majorana-Fermionen zu unterscheiden sind außerdem die hypothetischen Majoronen, die zwar ebenfalls nach Ettore Majorana benannt sind, aber als Goldstone-Bosonen ganzzahligen Spin tragen.

Auftreten

Mathematische Beschreibung

Ähnlich den masselosen Weyl-Fermionen, für welche die Dirac-Gleichung entkoppelt (siehe Weyl-Gleichung), sind Majorana-Fermionen 2-Komponenten-Teilchen, jedoch mit Majorana-Masse.

Die Lagrangedichte eines Majorana-Teilchens ${\displaystyle \psi _{M}}$ ist

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{M}{\Bigl (}\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\Bigr )}\,\psi _{M},}$

wobei wie in der relativistischen Quantenmechanik üblich ${\displaystyle {\bar {\psi }}_{M}=\psi _{M}^{\dagger }\gamma ^{0}}$ gilt.

Die zugehörige Dirac-Gleichung für ${\displaystyle \psi _{M}}$ lautet:

${\displaystyle {\Bigl (}\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m{\Bigr )}\,\psi _{M}=0}$

Setzt man wie bei den Weyl-Fermionen ${\displaystyle \psi _{M}={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$ und beachtet, dass unter einer Lorentztransformation

${\displaystyle \psi _{R}=i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}}$

gilt, so kann man

${\displaystyle \psi _{M}={\begin{pmatrix}\chi \\i\sigma ^{2}\chi ^{*}\end{pmatrix}}}$

setzen und es ergibt sich die Majorana-Gleichung für das 2-Komponenten-Feld ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi -im\sigma ^{2}\chi ^{*}=0}$

Dabei enthält ${\displaystyle {\bar {\sigma }}}$ gemäß ${\displaystyle {\bar {\sigma }}=(1,-{\vec {\sigma }})}$ die drei Pauli-Spinmatrizen, und ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ist die zweite Paulimatrix.

Die Majorana-Gleichung ist lorentzinvariant und impliziert die Klein-Gordon-Gleichung, welche die Energie-Impuls-Beziehung festlegt.

Sonstiges

2021 wurde die theoretische Existenz von Majorana-Bosonen vorgeschlagen, die theoretisch eigentlich nicht existieren dürften, nach den Autoren aber als Bestandteile z. B. von Photonen in Wechselwirkung mit Materie in metastabilen topologischen Phasen existieren könnten.

Literatur

• Andreas Aste: A direct road to Majorana fields. 2008. arxiv:0806.1690. Eine kompakte Einführung in den Majorana-Formalismus.
• Martin Leijnse, Karsten Flensberg: Introduction to topological superconductivity and Majorana fermions. Semic. Sci. Techn., Band 27, 2012, S. 124003.
• Jason Alicea: New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems. Reports on progress in physics. Physical Society (Great Britain), Band 75, 2012, S. 076501.

Einzelnachweise und Fußnoten

1. ↑ Enriched Xenon Observatory
2. ↑ Liang Fu, Charles L. Kane: Superconducting proximity effect and Majorana fermions at the surface of a topological insulator. Phys. Rev. Lett., Band 100, 2008, S. 096407, Arxiv.
3. ↑ R. M. Lutchyn, J. D. Sau, S. Das Sarma: Majorana Fermions and a Topological Phase Transition in Semiconductor-Superconductor Heterostructures. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 077001, Arxiv.
4. ↑ Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen: Helical liquids and Majorana bound states in quantum wires. Phys. Rev. Lett., Band 105, 2010, S. 177002, Arxiv.
5. ↑ Jason Alicea: New directions in the pursuit of Majorana fermions in solid state systems. Reports on Progress in Physics, Band 75, 2012, S. 076501, Arxiv.
6. ↑ A. Banerjee, C. A. Bridges, J.-Q. Yan, A. A. Aczel, L. Li, M. B. Stone, G. E. Granroth, M. D. Lumsden, Y. Yiu, J. Knolle, S. Bhattacharjee, D. L. Kovrizhin, R. Moessner, D. A. Tennant, D. G. Mandrus, S. E. Nagler: Proximate Kitaev quantum spin liquid behaviour in a honeycomb magnet. In: Nature Materials. 2016, doi:10.1038/nmat4604.
7. ↑ V. Mourik, K. Zuo, S. M. Frolov, S. R. Plissard, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven: Signatures of Majorana fermions in hybrid superconductor-semiconductor nanowire devices. Science, Band 336, 2012, S. 1003–1007, Arxiv.
8. ↑ Rainer Scharf: Majoranas Spuren, Pro-Physik, 13. April 2012.
9. ↑ Majorana fermion: Physicists observe elusive particle that is its own antiparticle. Phys.org, Oktober 2014.
10. ↑ Stevan Nadj-Perge, Ilya K. Drozdov, Jian Li, Hua Chen, Sangjun Jeon, Jungpil Seo, Allan H. MacDonald, Andrei Bernevig, Ali Yazdani: Observation of Majorana fermions in ferromagnetic atomic chains on a superconductor. Science, Band 346, 2014, S. 602–607.
11. ↑ Jian Li, Hua Chen, Ilya K. Drozdov, A. Yazdani, B. Andrei Bernevig, A. H. MacDonald: Topological Superconductivity induced by Ferromagnetic Metal Chains. Phys. Rev. B, Band 90, 2014, S. 235433, Arxiv, für die theoretische Behandlung.
12. ↑ John Kogut: An introduction to lattice gauge theory and spin systems. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 51, 1979, S. 659–713. Abstract.
13. ↑ T. D. Schultz, D. C. Mattis, E. H. Lieb: Two-Dimensional Ising Model as a Soluble Problem of Many Fermions. In: Reviews of Modern Physics. Bd. 36, 1964, S. 856.
14. ↑ Vincent P. Flynn, Emilio Cobanera, Lorenza Viola: Topology by Dissipation: Majorana Bosons in Metastable Quadratic Markovian Dynamics, Physical Review Letters, Band 127, 2021, S. 245701. Abstract, arxiv