Algebraischer Torus

Ein algebraischer Torus ${\displaystyle T}$ über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ist eine algebraische Gruppe, die isomorph zu einer algebraischen Gruppe der Form ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\ast }\times \dotsb \times \mathbb {C} ^{\ast }}$ ist.

Die Charaktere von ${\displaystyle T}$ sind Morphismen ${\displaystyle \chi \colon T\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$, die gleichzeitig Gruppenhomomorphismen sind. Die Charaktere bilden eine freie abelsche Gruppe ${\displaystyle M}$. Analog dazu sind die 1-Parameter Untergruppen von ${\displaystyle T}$ definiert als die Morphismen ${\displaystyle \lambda \colon \mathbb {C} ^{*}\rightarrow T}$, die Gruppenhomorphismen sind. Diese bilden ebenfalls eine freie abelsche Gruppe ${\displaystyle N}$ und es gibt eine natürliche bilineare Abbildung ${\displaystyle \langle ~,~\rangle \colon M\times N\rightarrow \mathbb {Z} }$ mit welcher man ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(M,\mathbb {Z} )}$ und ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} }(N,\mathbb {Z} )}$ identifizieren kann. Man erhält einen kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} ^{*}\cong T}$ via ${\displaystyle u\otimes t\mapsto \lambda ^{u}(t)}$.

Im Falle ${\displaystyle T=(\mathbb {C} ^{*})^{n}}$ lässt sich zeigen, dass alle Charaktere von der Form

${\displaystyle \chi ^{m}\colon (\mathbb {C} ^{*})^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{*},(t_{1},\dots ,t_{n})\mapsto t_{1}^{a_{1}}\cdots t_{n}^{a_{n}}{\text{ mit }}m=(a_{1},\dots a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$

und alle 1-Parameter Untergruppen von der Form

${\displaystyle \lambda ^{u}\colon \mathbb {C} ^{*}\rightarrow (\mathbb {C} ^{*})^{n},t\mapsto (t^{b_{1}},\dots ,t^{b_{n}}){\text{ mit }}u=(b_{1},\dots b_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$

sind. In diesem Fall gilt ${\displaystyle M\cong \mathbb {Z} ^{n}}$ und ${\displaystyle N\cong \mathbb {Z} ^{n}}$ und die bilineare Abbildung ist das Skalarprodukt.

Torische Varietäten als torische Einbettungen

Eine torische Varietät ist eine irreduzible algebraische Varietät ${\displaystyle X}$, die einen algebraischen Torus ${\displaystyle T}$ als eine Zariski-offene Teilmenge enthält, sodass die Gruppenverknüpfung des Torus sich zu einer algebraischen Gruppenoperation ${\displaystyle T\times X\to X}$ des Torus auf der ganzen Varietät fortsetzen lässt. Hierbei meint algebraisch, dass die Gruppenoperation durch einen Morphismus algebraischer Varietäten gegeben ist.

Bei manchen Autoren wird zusätzlich verlangt, dass eine torische Varietät normal ist. Dabei heißt eine algebraische Varietät normal, falls in jedem Punkt der Varietät der lokale Ring ein normaler Ring ist.

1. Konstruktion

Es sei ${\displaystyle T}$ ein Torus mit Charaktergitter ${\displaystyle M}$. Man betrachte eine endliche Teilmenge ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{m_{1},\dots ,m_{s}\}\subseteq M}$ mit den zugehörigen Charakteren ${\displaystyle \chi ^{m_{i}}\colon T\rightarrow \mathbb {C} ^{*}}$. Definiere die Abbildung

${\displaystyle \Phi _{\mathfrak {A}}:T\rightarrow \mathbb {C} ^{s},\quad \Phi _{\mathfrak {A}}(t)=(\chi ^{m_{1}}(t),\dots ,\chi ^{m_{s}}(t))}$

und ${\displaystyle Y_{\mathfrak {A}}}$ als den Zariski-Abschluss von ${\displaystyle {\text{Im}}(\Phi _{\mathfrak {A}})}$. Dann ist ${\displaystyle Y_{\mathfrak {A}}}$ eine affine torische Varietät, deren Torus das von ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ erzeugte Untergitter ${\displaystyle \mathbb {Z} {\mathfrak {A}}}$ als Charaktergitter besitzt. Die Dimension von ${\displaystyle Y_{\mathfrak {A}}}$ ist gleich dem Rang des Gitters ${\displaystyle \mathbb {Z} {\mathfrak {A}}}$.

2. Konstruktion

3. Konstruktion

Sei ${\displaystyle L\subseteq \mathbb {Z} ^{s}}$ein Untergitter.

• Ein Ideal der Form ${\displaystyle I_{L}=\langle x^{\alpha }-x^{\beta }:\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{s}{\text{ und }}\alpha -\beta \in L\rangle }$ heißt Gitterideal.
• Gitterideale, die Primideale sind, heißen torische Ideale.

Sei ${\displaystyle I}$ ein torisches Ideal. Dann ist ${\displaystyle V(I)}$ eine affine torische Varietät.

Für eine torische Varietät ${\displaystyle Y_{\mathfrak {A}}}$, die wie in der 1. Konstruktion gegeben ist. Dann gibt es eine induzierte Abbildung ${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{\mathfrak {A}}:\mathbb {Z} ^{s}\rightarrow M,\quad e_{i}\mapsto m_{i}}$. Der Kern dieser Abbildung ${\displaystyle L:={\text{ker}}({\hat {\Phi }}_{\mathfrak {A}})}$ ist ein Untergitter von ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{s}}$ und es gilt: ${\displaystyle I_{L}=I(Y_{\mathfrak {A}})}$.

Neilsche Parabel als affine torische Varietät

Die Neilsche Parabel ${\displaystyle C=V(x^{3}-y^{2})\subseteq \mathbb {C} ^{2}}$ ist eine affine torische Varietät. Denn sie enthält den Torus ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ als offene Teilmenge:

${\displaystyle C\setminus \{0\}=C\cap (\mathbb {C} ^{*})^{2}=\{(t^{2},t^{3}):t\in \mathbb {C} ^{*}\}\cong \mathbb {C} ^{*}}$.

Für ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\{2,3\}\subset \mathbb {Z} }$ und

${\displaystyle \Phi _{\mathfrak {A}}\colon \mathbb {C} ^{*}\rightarrow \mathbb {C} ^{2},\quad t\mapsto (t^{2},t^{3})}$

erhält man: ${\displaystyle C=Y_{\mathfrak {A}}={\overline {{\text{Im}}(\Phi _{\mathfrak {A}})}}}$.

Betrachtet man die von ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ erzeugte affine Halbgruppe ${\displaystyle S=\mathbb {N} {\mathfrak {A}}=\{0,2,3,\dots \}}$, dann gilt ${\displaystyle {\text{Specm}}(\mathbb {C} [S])=C}$. Da ${\displaystyle C}$ allerdings nicht normal ist, kann ${\displaystyle S}$ nicht von der Form ${\displaystyle S=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} }$ sein, wobei ${\displaystyle \sigma }$ ein spitzer Kegel ist.

Das Verschwindungsideal ${\displaystyle (x^{3}-y^{2})\in \mathbb {C} [x,y]}$ ist ein torisches Ideal zu dem von ${\displaystyle (3,0),(0,2)\in \mathbb {Z} ^{2}}$ erzeugten Gitter.

Torische Varietät zu einem Kegel

Es sei der Kegel ${\displaystyle \sigma ={\text{cone}}(e_{1},e_{2},e_{1}+e_{2}+2e_{3})\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ gegeben. Dann ist der duale Kegel gegeben durch ${\displaystyle \sigma ^{\vee }={\text{cone}}(e_{3},2e_{1}-e_{3},2e_{2}-e_{3})}$. Nun bestimmt man die Erzeuger der affinen Halbgruppe

${\displaystyle S=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{3}}$. Also eine Menge ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, sodass ${\displaystyle \mathbb {N} {\mathfrak {A}}=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{3}}$ gilt.

Man erhält

${\displaystyle {\mathfrak {A}}=\left\{\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}0\\1\\0\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}1\\1\\-1\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}2\\0\\-1\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}0\\2\\-1\\\end{array}}\right)\right\}}$.

Damit ist die torische Varietät ${\displaystyle V}$ zum Kegel ${\displaystyle \sigma }$ gegeben als ${\displaystyle V={\text{Specm}}(\mathbb {C} [S])={\overline {{\text{Im}}(\Phi _{\mathfrak {A}})}}}$, wobei

${\displaystyle \Phi _{\mathfrak {A}}:(\mathbb {C} ^{*})^{3}\rightarrow \mathbb {C} ^{6},\quad (t_{1},t_{2},t_{3})\mapsto (t_{1},t_{2},t_{3},t_{1}t_{2}t_{3}^{-1},t_{1}^{2}t_{3}^{-1},t_{2}^{2}t_{3}^{-1})}$.

Es lässt berechnen, dass das Verschwindungsideal von folgender Form ist: ${\displaystyle I(V)=\langle x_{3}x_{4}-x_{1}x_{2},x_{3}x_{5}-x_{1}^{2},x_{3}x_{6}-x_{2}^{2}\rangle \subset \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{6}]}$.

Verschwindungsideal projektiver torischer Varietäten

Sei ${\displaystyle X_{\mathfrak {A}}}$ wie oben gegeben und ${\displaystyle {\hat {\Phi }}_{\mathfrak {A}}:\mathbb {Z} ^{s}\rightarrow M,\quad e_{i}\mapsto m_{i}}$ die induzierte Abbildung zwischen den Gitter, ${\displaystyle L:={\text{ker}}({\hat {\Phi }}_{\mathfrak {A}})}$ der Kern dieser Abbildung. ${\displaystyle I_{L}}$ ist genau dann das Verschwindungsideal von ${\displaystyle X_{\mathfrak {A}}}$, falls ${\displaystyle I_{L}}$ homogen ist.

Torische Varietäten aus Gitterpolytopen

Sei ${\displaystyle M}$ ein Gitter. Ein Polytop ${\displaystyle P}$ heißt Gitterpolytop, falls es die konvexe Hülle einer Teilmenge ${\displaystyle S\subseteq M}$ ist, also

${\displaystyle P={\text{conv}}(S)=\left\{\sum _{u\in S}\lambda _{u}u:\lambda _{u}\geq 0,\sum _{u\in S}\lambda _{u}=1\right\}}$.

Ein Gitterpolytop heißt sehr ampel, wenn für alle Ecken ${\displaystyle m\in P}$ die Halbgruppe ${\displaystyle S=\mathbb {N} (P\cap M-m)=\mathbb {N} \{m'-m:m'\in P\cap M\}}$ gesättigt ist, d. h., aus ${\displaystyle ks\in S}$ folgt schon ${\displaystyle s\in S}$ für jedes ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} }$.

Für ein sehr amples Gitterpolytop ${\displaystyle P\subseteq M}$ mit ${\displaystyle {\text{dim}}(P)={\text{rang}}(M)}$ wählt man ${\displaystyle {\mathfrak {A}}:=P\cap M}$ und erhält eine torische Varietät ${\displaystyle X_{\mathfrak {A}}}$. Für ein allgemeines Gitterpolytop ${\displaystyle P'}$ von maximaler Dimsion lässt sich zeigen, dass ein ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ existiert, sodass ${\displaystyle kP'}$ sehr ampel ist. Die torische Varietät zu ${\displaystyle P'}$ ist dann definiert als ${\displaystyle X_{(kP')\cap M}}$.

Monographien und Lehrbücher

• David A. Cox, John B. Little, Henry K. Schenck: Toric varieties. American Mathematical Society, Providence 2011, ISBN 978-0-8218-4819-7.
• Günter Ewald: Combinatorial convexity and algebraic geometry. Springer, New York 1996, ISBN 0-387-94755-8.
• William Fulton: Introduction to toric varieties. Princeton University Press, Princeton, NJ. 1993, ISBN 0-691-03332-3.
• Tadao Oda: Convex bodies and algebraic geometry : an introduction to the theory of toric varieties. Springer, Berlin, 1988, ISBN 3-540-17600-4, SUB Göttingen.
• Tadao Oda: Lectures on Torus Embeddings and Applications. Springer, Berlin 1978, ISBN 3-540-08852-0.
• George R. Kempf, Finn Faye Knudsen, David B. Mumford, B. Saint-Donat: Toroidal Embeddings I. Springer, Berlin 1973, ISBN 978-3-540-06432-9.

Originalpublikationen

• Jean-Luc Brylinski: Eventails et variétés toriques. In: Séminaire sur les singularités des surfaces Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-09746-5.
• V.I. Danilov: The geometry of toric varieties. Russian Math. Surveys 33:2, 1978, S. 97–154 (PDF; 2,9 MB).

Vorlesungen und Vorlesungsskripte

• Jürgen Hausen: A video course on toric varieties. Tübingen 2020, (Toric Varieties auf YouTube, PDF).
• David A. Cox: Lectures on Toric Varieties. Hanoi 2005, (PDF).
• David A. Cox: What is a Toric Variety? Workshop on Algebraic Geometry and Geometric Modeling, Vilnius 2003, (PDF Skript, PDF Folien).
• Ludger Kaup: Vorlesungen über Torische Varietäten. Konstanzer Schriften in Mathematik und Informatik, Nr. 130, Fassung vom Frühjahr 2002, ISSN 1430-3558, (PDF).
• Jean-Paul Brasselet: Introduction to toric varieties. Impa, Marseille 2001, (PDF).
• David A. Cox: Minicourse on Toric Varieties. Buenos Aires 2001, (PDF).