Beispiel

Die Grafik unten zeigt die Arbeitslosenzahlen in der Bundesrepublik Deutschland von Januar 2005 bis Dezember 2008 (links oben) und eine lineare Trendfunktion. Rechts oben wird die Abweichung zwischen den beobachteten Arbeitslosenzahlen und den Schätzungen aus dem Trend gezeigt. Man sieht, dass im Frühjahr jeden Jahres die Trendfunktion die Arbeitslosenzahlen unterschätzt und im Herbst überschätzt (gleiche Farbe = gleicher Monat). Die Grafik links unten zeigt die über die Jahre gemittelte Abweichung für jeden Monat. Diese Abweichung wird für den entsprechenden Monat zur Trendfunktion addiert. Damit ergibt sich in der Grafik rechts unten das Trend-Saison-Modell (rote Linie).

Lineares oder polynomiales Trendmodell

Im linearen oder polynomialen Trendmodell wird einfach eine lineare oder polynomiale Regression bzgl. der Zeitvariablen durchgeführt, um den Trend zu schätzen:

${\displaystyle \mu (t)=\beta _{0}+\beta _{1}t+\beta _{2}t^{2}+...}$

Während die geschätzten Werte ${\displaystyle b_{0}}$, ${\displaystyle b_{1}}$, ... davon abhängen, wie die Zeit parametrisiert wird, sind die geschätzten Trendwerte ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}+...}$ unabhängig von der Parametrisierung.

Die folgende Tabelle zeigt zwei Parametrisierungen der Zeit für ein lineares Trendmodell:

• beim ersten Trendmodell entspricht
  • Januar 2005 gleich ${\displaystyle t=1}$ und
  • Februar 2005 gleich ${\displaystyle t=2}$,
• beim zweiten Trendmodell entspricht
  • Januar 2005 gleich ${\displaystyle s=-83}$ und
  • Februar 2005 gleich ${\displaystyle s=-81}$.

Danach liegen die Werte für ${\displaystyle t}$ bzw. ${\displaystyle s}$ für alle folgenden Monate fest.

	Arbeitslose	Lineares Trendmodell 1		Lineares Trendmodell 2
Zeitpunkt	(in Mio.)	${\displaystyle t}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{t}}$	${\displaystyle s}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{s}}$
Jan 2005	5,09	1	4,80	−83	4,80
Feb 2005	5,29	2	4,77	−81	4,77
Mrz 2005	5,27	3	4,75	−79	4,75
...	...	...	...	...	...
Dez 2011	2,78	84	2,63	+83	2,63
Trendmodell		${\displaystyle {\hat {x}}_{t}=4{,}82507-0{,}02615\cdot t}$		${\displaystyle {\hat {x}}_{s}=3{,}71363-0{,}01308\cdot s}$

Da bei den beiden Parametrisierungen die gleichen Schätzwerte herauskommen, kann man irgendeine wählen:

• Die erste Parametrisierung erlaubt eine leichte Interpretation der Trendfunktion ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}=4{,}82507-0{,}02615\cdot t}$. Ausgehend von einer Arbeitslosenzahl von 4,825 Mio. im Dezember 2004 (${\displaystyle t=0}$) fällt die Arbeitslosenzahl durchschnittlich um ca. 26.150 Personen pro Monat bis Dezember 2011.
• Die zweite Parametrisierung wäre nützlich, wenn man die Regressionskoeffizienten von Hand ausrechnen müsste. Dabei wird unter anderem das arithmetische Mittel ${\displaystyle {\bar {s}}}$ benötigt, das sich hier zu ${\displaystyle {\bar {s}}=0}$ ergibt. Des Weiteren sieht man, dass im Durchschnitt 3,71363 Mio. Menschen im Zeitraum Januar 2005 bis Dezember 2011 arbeitslos waren.

Bei den vorliegenden Daten wäre jedoch eine lineare Trendfunktion ungeeignet, da sie den globalen Verlauf der Zeitreihe nur schlecht wiedergibt. Dies zeigt auch die vorhergehende Grafik. Sie zeigt auch, dass eine quadratische Trendfunktion besser wäre:

${\displaystyle {\hat {x}}_{t}=5{,}27489-0,05753\cdot t+0{,}00037\cdot t^{2}}$.

Exponentielles Modell

Ein exponentielles Trendmodell kommt zum Einsatz, wenn die Daten es nahelegen. In der rechten Grafik sehen wir die Anzahl der Telefone (in Tsd.) in den USA von 1891 bis 1979 sowie eine exponentielle und eine lineare Trendfunktion. Offensichtlich beschreibt der exponentielle Trend die Daten besser als der lineare Trend.

Des Weiteren hat das exponentielle Trendmodell

${\displaystyle \log(\mu (t))=\beta _{0}+\beta _{1}\log(t)}$

den Vorteil, dass bei der Rückrechnung sich ergibt

${\displaystyle \mu (t)=\exp(\beta _{0})t^{\beta _{1}}}$.

Der geschätzte Wert ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}=\exp(b_{0})t^{b_{1}}\geq 0}$ für jedes ${\displaystyle t>0}$.

Die Schätzung der Regressionskoeffizienten erfolgt durch Rückführung auf das lineare Modell, d. h. sowohl ${\displaystyle t}$ als auch ${\displaystyle x_{t}}$ werden logarithmiert und dann ${\displaystyle \beta _{0}}$ und ${\displaystyle \beta _{1}}$ geschätzt.

Im Gegensatz zur linearen oder polynomialen Trendfunktion hängen sowohl die Werte der geschätzten Regressionskoeffizienten als auch der Schätzwerte ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}}$ davon ab, wie die Zeit parametrisiert wird. In der Grafik entspricht das Jahr 1891 gleich ${\displaystyle t=1891}$ und das Jahr 1892 gleich ${\displaystyle t=1892}$

${\displaystyle \log({\hat {x}}_{t})=-894{,}4+119{,}5\cdot \log(t)}$.

Gleitende Durchschnitte

Eine weitere Alternative zur Trendschätzung sind gleitende Durchschnitte mit genügend hoher Ordnung ${\displaystyle k}$. Dabei wird an einer Stelle ${\displaystyle t}$ der Wert ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}}$ als Durchschnitt der Beobachtungswerte ${\displaystyle t-(k-1)/2,\ldots ,t,\ldots ,t+(k-1)/2}$ berechnet. Unterschieden werden muss die Berechnung für gerade und ungerade Ordnungen:

${\displaystyle {\hat {x}}_{t}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{s=t-(k-1)/2}^{t+(k-1)/2}x_{s}&{\text{ wenn }}k{\text{ ungerade}}\\\displaystyle {\frac {1}{2k}}x_{t-k/2}+{\frac {1}{2k}}x_{t+k/2}+{\frac {1}{k}}\sum _{s=t-k/2+1}^{t+k/2-1}x_{s}&{\text{ wenn }}k{\text{ gerade}}\\\end{cases}}}$

Bei einer geraden Ordnung fließen die Randpunkte ${\displaystyle x_{t-k/2}}$ und ${\displaystyle x_{t+k/2}}$ jeweils mit dem Gewicht 1/2 ein und alle Punkte zwischen ihnen mit dem Gewicht 1.

Dies ist jedoch nur eine Möglichkeit, gleitende Durchschnitte zu berechnen; für weitere siehe den Hauptartikel Gleitender Mittelwert.

Die gleitende Durchschnitte werfen jedoch drei Probleme auf:

1. Welche Ordnung sollte man für die Trendschätzung wählen? Ist die Ordnung zu klein, dann fängt der gleitende Durchschnitt unter Umständen auch die Saisonalität der Daten ein. Ist die Ordnung zu groß, dann passt sich der Trend nicht mehr so gut an die Daten an. Die Grafik zeigt verschiedene Ordnungen: Sieben entspricht einem Quartal vorher und nachher, Dreizehn entspricht einem halben Jahr vorher und nachher und fünfundzwanzig entspricht einem Jahr vorher und nachher.
2. An den Rändern, also Januar 2005 bzw. Dezember 2011 in der nebenstehenden Grafik, kann man keine Schätzwerte mehr berechnen, da in dem Datensatz weder Werte vor dem Januar 2005 noch nach dem Dezember 2011 vorliegen.
3. Beim linearen, polynomialen und exponentiellen Trendmodell kann man prinzipiell auch in die Zukunft extrapolieren. Dies ist bei einem gleitenden Durchschnitt nicht möglich, da dafür bereits die zukünftigen Werte bekannt sein müssten. Er eignet sich also nur zur Beschreibung der Daten.

Der Vorteil der gleitenden Durchschnitte ist jedoch die bessere Anpassung an einen nicht-linearen Trend in den Daten.

Additive Saisonschwankung

Jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t=k\cdot T+j}$ einer Saison mit einer vorgegebenen Länge ${\displaystyle T}$ wird ein Saisonindex ${\displaystyle j=1,....,T}$ zugeordnet. Dann wird die Differenz zwischen dem Beobachtungswert und dem geschätzten Trendwert gebildet

${\displaystyle {\hat {s}}_{t}^{+}=x_{t}-{\hat {x}}_{t}}$.

Danach werden für ein fixes ${\displaystyle j}$ alle Werte gemittelt

${\displaystyle {\hat {s}}_{j}^{+}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{k=1}^{n_{j}}{\hat {s}}_{k\cdot T+j}^{+}}$

In dem Arbeitslosenbeispiel (${\displaystyle T=12}$) werden zunächst also alle Januarabweichungen gemittelt (${\displaystyle j=1}$):

${\displaystyle {\hat {s}}_{1}^{+}={\frac {\overbrace {0{,}31} ^{\text{Jan 2006}}+\overbrace {0{,}20} ^{\text{Jan 2007}}+\overbrace {0{,}29} ^{\text{Jan 2008}}+\overbrace {0{,}27} ^{\text{Jan 2009}}+\overbrace {0{,}25} ^{\text{Jan 2010}}+\overbrace {0{,}27} ^{\text{Jan 2011}}}{6}}=0{,}23}$

Dies wird für alle Monate wiederholt bis Dezember (${\displaystyle j=12}$):

${\displaystyle {\hat {s}}_{12}^{+}={\frac {\overbrace {-0{,}13} ^{\text{Dez 2005}}+\overbrace {-0{,}11} ^{\text{Dez 2006}}+\overbrace {-0{,}09} ^{\text{Dez 2007}}+\overbrace {-0{,}19} ^{\text{Dez 2008}}+\overbrace {-0{,}11} ^{\text{Dez 2009}}+\overbrace {-0{,}08} ^{\text{Dez 2010}}}{6}}=-0{,}12}$

Damit kann aus der Trendschätzung und den gemittelten Saisonabweichungen die endgültige Zeitreihenschätzung ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}^{\text{ZRM}}}$ berechnet werden.

Zeitpunkt	${\displaystyle x_{t}}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{t}}$	${\displaystyle x_{t}-{\hat {x}}_{t}}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\hat {s}}_{j}^{+}}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{t}^{\text{ZRM}}}$
Jan 2005	5,09	--	--	1	--	--
...	...	...	...	...	...	...
Dez 2005	4,60	4,73	−0,13	12	−0,12	4,61
Jan 2006	5,01	4,70	0,31	1	0,23	4,93
...	...	...	...	...	...	...
Dez 2006	4,01	4,12	−0,11	12	−0,12	4,00
Jan 2007	4,26	4,06	0,20	1	0,23	4,29
...	...	...	...	...	...	...

Multiplikative Saisonschwankung

Jedem Zeitpunkt ${\displaystyle t=k\cdot T+j}$ einer Saison mit einer vorgegebenen Länge ${\displaystyle T}$ wird ein Saisonindex ${\displaystyle j=1,....,T}$ zugeordnet. Dann wird der Quotient zwischen dem Beobachtungswert und dem geschätzten Trendwert gebildet

${\displaystyle {\hat {s}}_{t}^{*}=x_{t}/{\hat {x}}_{t}}$.

Danach werden für ein fixes ${\displaystyle j}$ alle Werte gemittelt.

${\displaystyle {\hat {s}}_{j}^{*}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{k=1}^{n_{j}}{\hat {s}}_{k\cdot T+j}^{*}}$

In dem Arbeitslosenbeispiel (${\displaystyle T=12}$) werden zunächst also alle Januarabweichungen gemittelt (${\displaystyle j=1}$):

${\displaystyle {\hat {s}}_{1}^{*}={\frac {\overbrace {1{,}066} ^{\text{Jan 2006}}+\overbrace {1{,}049} ^{\text{Jan 2007}}+\overbrace {1{,}056} ^{\text{Jan 2008}}+\overbrace {1{,}052} ^{\text{Jan 2009}}+\overbrace {1{,}073} ^{\text{Jan 2010}}+\overbrace {1{,}087} ^{\text{Jan 2011}}}{6}}=1{,}064}$

Dies wird für alle Monate wiederholt bis Dezember (${\displaystyle j=12}$):

${\displaystyle {\hat {s}}_{12}^{*}={\frac {\overbrace {0{,}973} ^{\text{Dez 2005}}+\overbrace {0{,}974} ^{\text{Dez 2006}}+\overbrace {0{,}973} ^{\text{Dez 2007}}+\overbrace {0{,}942} ^{\text{Dez 2008}}+\overbrace {0{,}967} ^{\text{Dez 2009}}+\overbrace {0{,}973} ^{\text{Dez 2010}}}{6}}=0{,}967}$

Damit kann aus der Trendschätzung und den gemittelten Saisonabweichungen die endgültige Zeitreihenschätzung ${\displaystyle {\hat {x}}_{t}^{\text{ZRM}}}$ berechnet werden.

Zeitpunkt	${\displaystyle x_{t}}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{t}}$	${\displaystyle x_{t}/{\hat {x}}_{t}}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle {\hat {s}}_{j}^{*}}$	${\displaystyle {\hat {x}}_{t}^{\text{ZRM}}}$
Jan 2005	5,09	--	--	1	--	--
...	...	...	...	...	...	...
Dez 2005	4,60	4,73	0,973	12	0,967	4,58
Jan 2006	5,01	4,70	1,066	1	1,063	5,00
...	...	...	...	...	...	...
Dez 2006	4,01	4,12	0,974	12	0,967	3,98
Jan 2007	4,26	4,06	1,049	1	1,063	4,32
...	...	...	...	...	...	...