Vermessung eines Punktes im Dreieck

Winkel lassen sich im Gelände wesentlich einfacher (berührungslos) und genauer messen als Strecken, besonders wenn diese sehr lang sind. Daher wird für großräumige Vermessungen das Verfahren der Triangulation verwendet: Sind die Winkel zwischen den Seiten eines Dreiecks und die Länge einer der Dreiecksseiten bekannt, kann man die Längen der anderen Seiten mittels trigonometrischer Formeln berechnen.

Bei geringen Entfernungen bzw. in der Ebene genügt einfache Trigonometrie. Betrachtet man von den beiden Enden A und B der Basis c einen Zielpunkt C, können die beiden Winkel α und β zur Basis gemessen werden. Der dritte Winkel γ=180°−α−β. Die Strecken AC=b und BC=a ergeben sich dann durch die Gleichung

${\displaystyle {\frac {c}{\sin(\gamma )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {a}{\sin(\alpha )}}}$.

Wird das Dreieck zusätzlich astronomisch (nach der Süd- oder Nordrichtung) orientiert, lassen sich auch die Lagebeziehungen der Dreieckspunkte in einem Koordinatensystem berechnen.

Als Dreieckpunkte werden zum Beispiel die beiden Enden der bekannten Strecke verstanden und der zu vermessende Punkt in der Landschaft. Das Verfahren teilt sich auf in Streckenmessung und Winkelmessung.

Ist noch keine gemessene Strecke vorhanden, wie beispielsweise am Anfang der Landesvermessung, muss sie festgelegt werden. Entweder direkt oder, falls sie zu lang ist, indirekt. Für das erwähnte Beispiel der Landesvermessung wurde eine Basislinie von nur einigen Kilometern Länge zwischen zwei Festpunkten bestimmt und durch Aneinanderlegen von Maßstäben oder mit Messbändern oder -drähten genauestens vermessen. Die ermittelte Länge wurde wiederum durch Triangulation auf die zum Beispiel 50 Kilometer lange Strecke des eigentlichen Messdreiecks übertragen.

Die vertikalen und horizontalen Winkel werden mit dem Theodolit gemessen.

Spezielle moderne Triangulationsverfahren der Geodäsie sind:

• Stellartriangulation: In der Landesvermessung werden die Zielpunkte nicht mit direkter Winkelmessung, sondern durch fotografische Aufnahmen vor dem Hintergrund des Sternhimmels eingemessen
• Satellitentriangulation: In der Satellitengeodäsie ein Verfahren zur Einmessung von Bodenstationen mittels gleichzeitig fotografierter Satellitenpositionen

Erstellen eines Dreiecksnetzes

Durch Verbinden der Dreiecke mit gemeinsamen Eckpunkten zu einem Dreiecksnetz können die bereits bestimmten Seiten eines Dreiecks als Basis zur Berechnung der benachbarten Dreiecke dienen. So reichte die Basismessung der Großenhainer Grundlinie für die ganze Königlich-Sächsische Triangulation.

Als Dreieckspunkte wurden geodätische Festpunkte auf erhöhten Stellen der Landschaft, beispielsweise Bergkuppen oder ersatzweise Türmen, errichtet. Hohe Bauwerke sind allgemein weniger geeignet, da sie sich senken und dabei ihre Neigung und damit die Lage des erhöhten Punktes verändern können. Von jedem dieser Punkte werden mit einem Theodolit die Winkel zwischen sämtlichen hier endenden Dreiecksseiten ermittelt, indem die jeweils anderen Punkte der Seite angezielt werden. Dazu müssen die Punkte untereinander freie Sicht haben.

Damit sind aber erst die Lagebeziehungen der Punkte untereinander ermittelt. Das Netz ließe sich noch als Ganzes auf der Erdoberfläche verschieben und drehen. Daher wird noch ein Fundamentalpunkt ausgewählt. Mittels astronomischer Beobachtungen wird seine genaue Lage im geodätischen Gradnetz und die Nord-Abweichung der Richtung (Azimut) zu einem weiteren Festpunkt bestimmt.

In der Regel wird das Dreiecksnetz überbestimmt, das heißt, es werden nicht nur die Dreiecke bestimmt, die zu einer einfachen Überdeckung des Messgebietes notwendig sind, sondern alle, die sich durch die gegenseitige Beobachtbarkeit der Punkte ergeben. So kann durch Ausgleichsrechnung die Genauigkeit gesteigert werden.

Dreiecksnetz und Erdfigur

Um die trigonometrischen Formeln überhaupt anwenden zu können, muss die Berechnung auf einer mathematisch beschreibbaren Fläche durchgeführt werden, der Erdfigur. Zunächst verwendete man als erste Näherung eine Kugel, dann ein Rotationsellipsoid, dessen eine Achse mit der Rotationsachse der Erde zusammenfällt. Setzt man die Länge dieser Achsen in die Gleichungen ein, kann man wiederum durch Minimieren der auftretenden Fehler das bestangepasste Ellipsoid finden.

Die Parameter dieses Ellipsoids (Längen der Halbachsen bzw. Abplattung) zusammen mit den Parametern des Fundamentalpunkts (Lage und Ausrichtung) bezeichnet man als Geodätisches Datum.

Netz erster und zweiter Ordnung

Das so bestimmte Dreiecksnetz ist das Netz 1. Ordnung. Da seine Punkte sehr weit voneinander entfernt liegen, wird es wiederum durch Triangulation verdichtet zu einem Netz 2. Ordnung mit einem Punktabstand in der Größenordnung von 10 Kilometer, und dieses wiederum zu weiteren Netzen mit geländeabhängigen Punktabständen.

Diese Punkte kann man dann als Festpunkte für kleinräumige Vermessungen verwenden, und in diesem Größenrahmen auch mit den Formeln der ebenen Trigonometrie rechnen, d. h. die Innenwinkelsumme mit 180° annehmen und die Dreiecksseiten mit dem Sinussatz berechnen.