Tribonacci-Folge

Die Tribonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen, die ursprünglich mit einmal der Zahl 0 und zweimal der Zahl 1 beginnt. Im Anschluss ergibt jeweils die Summe der drei vorangegangenen Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:

T_{0}=0,\,T_{1}=T_{2}=1

T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}

Die darin enthaltenen Zahlen heißen Tribonacci-Zahlen. Diese Folge erhielt ihren Namen als Analogon zu der Fibonacci-Folge, nur werden nicht die zwei, sondern die drei vorangegangenen Zahlen addiert, um eine betroffene Zahl dieser Folge zu erhalten.

Die ersten Tribonacci-Zahlen lauten folgendermaßen:

0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, ...

Definition der Tribonacci-Folge

Die Tribonacci-Folge $T_{1},\,T_{2},\,T_{3},\ldots$ ist durch das rekursive Bildungsgesetz

T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}

für

n\geq 3

mit den Anfangswerten

T_{0}=0,\,T_{1}=T_{2}=1

definiert. Das bedeutet in Worten:

Für die drei ersten Zahlen einmal der Wert 0 und zweimal der Wert 1 vorgegeben.
Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer drei Vorgänger in der Folge.

Aus der Forderung, dass die Rekursion

T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}

auch für ganze Zahlen $n\leq 2$ gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf negative Indizes.

T_{-1}=0,T_{-2}=1,T_{-3}=-1,T_{-4}=0,T_{-5}=2,T_{-6}=-3,T_{-7}=1,T_{-8}=4,T_{-9}=-8,T_{-10}=5

So ergibt sich die Folge in die linke Richtung:

5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81...

Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Folge auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen und auf Vektorräume möglich.

Matrix und Konstante

Die Tribonacci-Folge wird durch folgende Matrix generiert:

M={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}

Durch Potenzieren mit ganzen Zahlen erhält man in der ersten und dritten Spalte die Tribonacci-Zahlen als Einträge:

M^{n}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\\T_{n-1}&T_{n-2}+T_{n-3}&T_{n-2}\end{pmatrix}}

Der Grenzwert des Quotienten sukzessiver Folgenglieder ergibt die Tribonacci-Konstante:

\lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=T_{\text{TRI}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}\approx 1,8392867552

Diese Konstante ist auch der reelle Eigenwert der oben abgebildeten Matrix und die Lösung folgender kubischer Gleichung:

x^{3}-x^{2}-x-1=0

x_{\text{reell}}=T_{\text{TRI}}

Kehrwert der Tribonacci-Konstante:

Die Gleichung für den Kehrwert erhält man durch Einsetzen von $x=1/y$ :

y^{3}+y^{2}+y-1=0

y_{\text{reell}}=1/T_{\text{TRI}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}-{\frac {1}{3}}\approx 0,5436890127

Geschlossene Darstellung

Die Tribonacci-Folge hat die (auch für negative $n$ gültige) geschlossene Darstellung

T_{n}=c_{1}T_{\text{TRI}}^{n}+\left({\frac {1}{T_{\text{TRI}}}}\right)^{n/2}(c_{2}\cos n\phi +c_{3}\sin n\phi )

mit

\phi =\arccos {\frac {(1-T_{\text{TRI}}){\sqrt {T_{\text{TRI}}}}}{2}}\approx 2,1762335455

Die drei Koeffizienten $c_{1},\,c_{2},\,c_{3}$ können durch die drei Startbedingungen $T_{0}=0,\,T_{1}=1,\,T_{2}=1$ (oder durch drei beliebige andere Startbedingungen) leicht als Lösung eines linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Die numerischen Werte sind

c_{1}=0,3362281170,\,c_{2}=-0,3362281170,\,c_{3}=0,39664828016.

Wegen $0<{\frac {1}{T_{\text{TRI}}}}<1$ wird der 2. Summand der geschlossenen Darstellung für $n\rightarrow \infty$ rasch klein, und man erhält die für $n=0,\,1,\,2,\,\ldots$ gültige vereinfachte geschlossene Darstellung

T_{n}=\operatorname {round} (c_{1}T_{\text{TRI}}^{n})

wobei round die kaufmännische Rundungsfunktion bedeutet. Beispielsweise ist $T_{10}=\operatorname {round} (c_{1}T_{\text{TRI}}^{10})=\operatorname {round} (148,98)=149$ .

Trinomialkoeffizienten

Im trinomialen Dreieck erscheinen die Tribonacci-Zahlen als Summen der Trinomialkoeffizienten auf gemeinsamen Achsen, welche die Trinomialkoeffizienten im Rösselsprung durchlaufen. Somit können die Tribonacci-Zahlen auf folgende Weise formuliert werden:

T_{n}=\sum _{k=1}^{n}{{n-k} \choose {n+1-2k}}_{2}

Diese Formel ist für alle Zahlen n ∈ ℕ gültig.

Beispiele:

T_{3}={{2} \choose {2}}_{2}+{{1} \choose {0}}_{2}=1+1=2

T_{4}={{3} \choose {3}}_{2}+{{2} \choose {1}}_{2}+{{1} \choose {-1}}_{2}=1+2+1=4

T_{5}={{4} \choose {4}}_{2}+{{3} \choose {2}}_{2}+{{2} \choose {0}}_{2}=1+3+3=7

T_{6}={{5} \choose {5}}_{2}+{{4} \choose {3}}_{2}+{{3} \choose {1}}_{2}+{{2} \choose {-1}}_{2}=1+4+6+2=13

Abbildung des trinomialen Dreiecks:

{\begin{matrix}&&&&&1\\&&&&1&1&1\\&&&1&2&3&2&1\\&&1&3&6&7&6&3&1\\&1&4&10&16&19&16&10&4&1\\1&5&15&30&45&51&45&30&15&5&1\end{matrix}}

Für die Trinomialkoeffizienten mit ganzzahligen Einträgen gilt generell:

{{a} \choose {b}}_{2}=\sum _{m=0}^{a}{{a} \choose {m}}{{a-m} \choose {a-b-2m}}

Dabei ergeben diejenigen ganzzahlige Binomialkoeffizienten, bei welchen der obere Eintrag positiv ist und der untere Eintrag negativ oder höher als der obere Eintrag ist, immer Null.

Somit können die Tribonaccizahlen auch auf folgende Weise dargestellt werden:

T_{n}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{m=0}^{n-k}{{n-k} \choose {m}}{{n-k-m} \choose {k-1-2m}}

Reihenentwicklung

Folgender Bruch hat die Tribonacci-Zahlen in der Maclaurinschen Reihe als Vorfaktoren:

{\frac {x}{1-x-x^{2}-x^{3}}}=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}x^{n}

für die Werte $|x|\leq 1/T_{\text{TRI}}$

Beweis:

(1-x-x^{2}-x^{3})\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}x^{n}=

=\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}x^{n}-\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}x^{n+1}-\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}x^{n+2}-\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}x^{n+3}=

=\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}x^{n}-\sum _{n=1}^{\infty }T_{n-1}x^{n}-\sum _{n=2}^{\infty }T_{n-2}x^{n}-\sum _{n=3}^{\infty }T_{n-3}x^{n}=

=T_{0}+(T_{1}-T_{0})x+(T_{2}-T_{1}-T_{0})x^{2}+\sum _{n=3}^{\infty }(T_{n}-T_{n-1}-T_{n-2}-T_{n-3})x^{n}=x

Kubikwurzel

Die Tribonacci-Konstante lässt sich auf einfache Weise kubisch radizieren:

Synthese des erster Ausdrucks:

T_{\text{TRI}}^{3}-T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}}-1=0

I)

T_{\text{TRI}}^{2}(T_{\text{TRI}}-1)=T_{\text{TRI}}+1

Synthese des zweiten Ausdrucks:

T_{\text{TRI}}^{3}-T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}}-1=0

T_{\text{TRI}}^{3}-T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}}+1=2

II)

(T_{\text{TRI}}-1)^{2}(T_{\text{TRI}}+1)=2

Synthese des dritten und vierten Ausdrucks:

Multiplikation von I und II:

III)

T_{\text{TRI}}^{2}(T_{\text{TRI}}-1)^{3}(T_{\text{TRI}}+1)=2(T_{\text{TRI}}+1)

T_{\text{TRI}}^{3}(T_{\text{TRI}}-1)^{3}/2=T_{\text{TRI}}

IV)

{\sqrt[{3}]{T_{\text{TRI}}}}=T_{\text{TRI}}(T_{\text{TRI}}-1)/{\sqrt[{3}]{2}}

Einsatz von I in IV:

{\sqrt[{3}]{T_{\text{TRI}}}}=(1+T_{\text{TRI}}^{-1})/{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}(2+{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}})

Daraus folgt:

T_{\text{TRI}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}\right)^{3}

Elliptische Funktionen und Integrale

Elliptische Lambda-Funktion

Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptisches Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der Tribonacci-Konstante darstellen:

K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {11}}

x=\lambda ^{*}(11)={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)\left({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1\right)^{4}=

={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}+3)[{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}(3T_{\text{TRI}}^{2}-4T_{\text{TRI}}+2)-1]^{4}=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]

{\sqrt {1-x^{2}}}=\lambda ^{*}({\tfrac {1}{11}})={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}-3)\left({\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1\right)^{4}=

={\tfrac {1}{16}}{\sqrt {2}}({\sqrt {11}}-3)[{\tfrac {1}{11}}{\sqrt {11}}(3T_{\text{TRI}}^{2}-4T_{\text{TRI}}+2)+1]^{4}=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]

Diese Werte sind die elliptischen Lambda-Funktionswerte von 11 und 1/11. Mit diesen Werten können auch λ*(44) und λ*(4/11) ermittelt werden:

\lambda ^{*}(44)=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]^{2}

\lambda ^{*}({\tfrac {4}{11}})=\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]^{2}

Jacobische Thetafunktion

Auch einige Werte der Jacobischen Thetafunktion können vereinfacht mit der Tribonacci-Konstante dargestellt werden:

\vartheta _{10}[\exp(-{\sqrt {11}}\pi )]={2}^{9/22}{11}^{-3/8}{\pi }^{-1/2}(T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}}){\sqrt {\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]}}{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{22}}\pi )\cos({\tfrac {3}{22}}\pi )\mathrm {B} ({\tfrac {5}{22}};{\tfrac {15}{22}})}}

\vartheta _{00}[\exp(-{\sqrt {11}}\pi )]={2}^{9/22}{11}^{-3/8}{\pi }^{-1/2}(T_{\text{TRI}}^{2}-{T_{\text{TRI}}}){\sqrt {\cos({\tfrac {1}{22}}\pi )\cos({\tfrac {3}{22}}\pi )\mathrm {B} ({\tfrac {5}{22}};{\tfrac {15}{22}})}}

\vartheta _{10}[\exp(-2{\sqrt {11}}\pi )]={2}^{9/22}{11}^{-3/8}{\pi }^{-1/2}(T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}})\sin[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{22}}\pi )\cos({\tfrac {3}{22}}\pi )\mathrm {B} ({\tfrac {5}{22}};{\tfrac {15}{22}})}}

\vartheta _{00}[\exp(-2{\sqrt {11}}\pi )]={2}^{9/22}{11}^{-3/8}{\pi }^{-1/2}(T_{\text{TRI}}^{2}-T_{\text{TRI}})\cos[{\tfrac {1}{4}}\arcsin({\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}}^{-4})]{\sqrt {\cos({\tfrac {1}{22}}\pi )\cos({\tfrac {3}{22}}\pi )\mathrm {B} ({\tfrac {5}{22}};{\tfrac {15}{22}})}}

Dabei wird mit B(x;y) die Eulersche Betafunktion bezeichnet.

Geometrische Körper

Die Tribonacci-Konstante beschreibt im Cubus Simus und im Pentagonikositetraeder die Seitenverhältnisse und die trigonometrischen Funktionswerte der Winkel. All diese Werte lassen sich vereinfacht als Quadratwurzeln aus rationalen Polynomen aus der Tribonacci-Konstante darstellen.

Cubus Simus

Der Cubus Simus kann von einem Würfel so umkleidet werden, dass die Quadratflächen des Cubus Simus exakt auf den Quadratflächen des Würfels liegen. Die Kantenlänge des umkleidenden Würfels a verhält sich dabei zur Kantenlänge der Quadrate und Dreiecke des Cubus Simus b um den Wert 2^(1/6)*T_TRI^(7/6).

{\frac {a}{b}}={\sqrt[{6}]{2}}\,T_{\text{TRI}}^{7/6}

Der Winkel zwischen Quadrat des Umkleidenden Würfels und Quadrat des Cubus Simus φ ist der Arkustangens vom Kehrwert des Quadrats der Tribonacci-Konstante.

\varphi =\arctan(T_{\text{TRI}}^{-2})

Dies kann auf folgende Weise gezeigt werden:

Die Kantenlänge des Cubus Simus kann über den Satz des Pythagoras mit den Distanzen der Eckpunkte der Quadrate des Cubus Simus zu den Kanten des umkleidenden Würfels dargestellt werden.

Die an einer Kante des umkleidenden Würfels am nächsten stehende Ecke vom Quadrat des Cubus Simus hat diese Distanz:

c={\tfrac {1}{2}}a-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )b-{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )b

Die an einer Kante des umkleidenden Würfels am zweitnächsten stehende Ecke vom Quadrat des Cubus Simus hat jene Distanz:

d={\tfrac {1}{2}}a-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )b+{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )b

Die Distanz der auf der Kante des umkleidenden Würfels liegenden Fußpunkte der Höhen von den am nächsten und am drittnächsten gelegenen Quadrateckpunkte des Cubus Simus hat folgende Distanz:

e=\sin(\varphi )b

Die Distanz der auf der Kante des umkleidenden Würfels liegenden Fußpunkte der Höhen von den am nächsten und am viertnächsten gelegenen Quadrateckpunkte des Cubus Simus hat folgende Distanz:

f=\cos(\varphi )b-\sin(\varphi )b

Die Kanten der Dreiecke des Cubus Simus lassen sich mit dem Satz des Pythagoras auf folgende Weise darstellen:

c^{2}+d^{2}+e^{2}=b^{2}

2c^{2}+f^{2}=b^{2}

Wenn das x Verhältnis a/b und φ der Winkel zwischen Quadrat des umkleidenden Würfels und Quadrat des Cubus Simus ist, dann gelten folgende zwei Formeln:

[{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )-{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )]^{2}+[{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )+{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )]^{2}+\sin(\varphi )^{2}=1

2[{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )-{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )]^{2}+[\cos(\varphi )-\sin(\varphi )]^{2}=1

Dieses Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten wird mit diesen Werten gelöst:

x={\sqrt[{6}]{2}}\,T_{\text{TRI}}^{7/6}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2T_{\text{TRI}}}}(T_{\text{TRI}}^{2}-1)

\varphi =\arctan(T_{\text{TRI}}^{-2})

Die Streckenlänge g von der Seitenmitte eines Quadrates vom Kubus Simus bis zur entferntesten Dreiecksecke des an der gegenteiligen Seite des Quadrates angrenzenden Dreiecks lässt sich folgendermaßen berechnen:

g=b{\sqrt {[{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )-{\tfrac {1}{2}}\sin(\varphi )]^{2}+[{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )]^{2}+[{\tfrac {1}{2}}\cos(\varphi )]^{2}}}

Somit ergibt sich folgendes Verhältnis dieser Streckenlänge zur Seite des Cubus Simus:

g/b={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4T_{\text{TRI}}^{2}-1}}

Die Dreieckshöhe h ist beim gleichseitigen Dreieck sqrt(3)/2-mal so lang wie die Dreiecksseite. Der Diederwinkel zwischen Dreieck und Quadrat des Cubus Simus kann mit dem Kosinussatz berechnet werden:

\cos(\vartheta _{34})={\frac {b^{2}+h^{2}-g^{2}}{2bh}}

\cos(\vartheta _{34})={\frac {1+3/4-1/4(4T_{\text{TRI}}^{2}-1)}{\sqrt {3}}}=-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}(T_{\text{TRI}}^{2}-2)

In Abhängigkeit von der Seitenlänge des Cubus Simus wird das Volumen folgendermaßen berechnet:

V_{CUBSIM}={\tfrac {1}{6}}{\sqrt {2T_{\text{TRI}}}}(7T_{\text{TRI}}^{2}+1)

Pentagonikositetraeder

In den Tangentenfünfecken des Pentagonikositetraeders verhalten sich die längeren Seiten zu den kürzeren Seiten in folgendem Verhältnis:

{\frac {a}{b}}={\frac {1}{2}}T_{\text{TRI}}+{\frac {1}{2}}

Hierbei ist a die zweimal vorkommende längere Seite und b die dreimal vorkommende kürzere Seite.

Der größere Winkel im Fünfeck kommt viermal vor und nimmt diesen Wert an:

\sphericalangle _{GR}=\arccos({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}T_{\text{TRI}})\approx 114{,}8^{\circ }

Der kleinere Winkel im Fünfeck kommt einmal vor und nimmt jenen Wert an:

\sphericalangle _{KL}=\arccos(2-T_{\text{TRI}})=\arccos(T_{\text{TRI}}^{-3})\approx 80{,}8^{\circ }

Die Oberfläche des Pentagonikositetraeders hat folgenden Wert:

A_{\text{PENIKO}}={\tfrac {6}{11}}{\sqrt {22}}{\sqrt {5T_{\text{TRI}}-1}}(-7T_{\text{TRI}}^{2}+10T_{\text{TRI}}+9)a^{2}={\tfrac {3}{11}}{\sqrt {22}}{\sqrt {5T_{\text{TRI}}-1}}(2T_{\text{TRI}}^{2}+5T_{\text{TRI}}-1)b^{2}

Das Volumen des Pentagonikositetraeders wird auf folgende Weise berechnet:

V_{\text{PENIKO}}=4{\sqrt {T_{\text{TRI}}}}(-T_{\text{TRI}}^{2}+2T_{\text{TRI}}+2)a^{3}={\sqrt {T_{\text{TRI}}}}(5T_{\text{TRI}}^{2}+4T_{\text{TRI}}+2)b^{3}

Weblinks

Yüksel Soykan: Matrix Sequences of Tribonacci and Tribonacci-Lucas Numbers
brilliant.org
Tribonacci Numbers
Yüksel Soykan: Tribonacci and Tribonacci-Lucas Sedenions MDPI
Nurettin Irmak, Murat Alp: Tribonacci numbers with indices in arithmetic progression and their sums Miskolc Mathematical Notes, Vol. 14, 2013, Nr. 1, S. 5–133

Einzelnachweise

↑ Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.
↑ Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB)
↑ recurrence relations - Fibonacci, tribonacci and other similar sequences. Abgerufen am 12. Juli 2021.
↑ Eric W. Weisstein: Tribonacci Number. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Tribonacci Constant. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).
↑ 0026: Part 5, Complete Elliptic Integral of the First Kind - A Collection of Algebraic Identities. Abgerufen am 12. Juli 2021.
↑ Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Elliptic Integral Singular Value. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Snub Cube. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).
↑ Eric W. Weisstein: Pentagonal Icositetrahedron. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

K. Atanassov, J. Hlebarova, S. Mihov, "Recurrent formulas of the generalized Fibonacci and Tribonacci sequences" The Fibonacci Quart. , 30 : 1 (1992) pp. 77–79
J.-Z. Lee, J.-S. Lee, "Some properties of the generalization of the Fibonacci sequence" The Fibonacci Quart. , 25 : 2 (1987) pp. 111–117
Finch, S. R. "Mathematical Constants" Cambridge, England: Cambridge University Press : 3 (2003) p. 9

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[1] Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.

[2] Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF; 351 kB)

[3] recurrence relations - Fibonacci, tribonacci and other similar sequences. Abgerufen am 12. Juli 2021.

[4] Eric W. Weisstein: Tribonacci Number. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

[5] Eric W. Weisstein: Tribonacci Constant. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

[6] 0026: Part 5, Complete Elliptic Integral of the First Kind - A Collection of Algebraic Identities. Abgerufen am 12. Juli 2021.

[7] Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

[8] Eric W. Weisstein: Elliptic Integral Singular Value. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

[9] Eric W. Weisstein: Snub Cube. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).

[10] Eric W. Weisstein: Pentagonal Icositetrahedron. Abgerufen am 12. Juli 2021 (englisch).