Das Problem

Drei Schützen veranstalten ein Triell, bei dem nacheinander geschossen wird, bis nur noch ein Teilnehmer lebt. Alle drei Schützen sind bekanntermaßen unterschiedlich treffsicher. Um das Triell gerecht zu gestalten, wird dem schlechtesten der erste Schuss gewährt; dann folgt der zweitbeste (falls er noch lebt), dann der beste (falls er noch lebt). Danach geht es wieder beim schlechtesten los. Wohin sollen die Schützen optimalerweise zielen?

Zusätzliche Annahmen

Für eine eindeutige Bestimmung der optimalen Strategien müssen einige Eigenschaften der Nutzenfunktionen der Kombattanten klar definiert werden.

Der Nutzen von Schütze 2, wenn die Schützen 1 und 3 erschossen sind, sei u₂(13).

Dann sind folgende Annahmen plausibel: ${\displaystyle u_{2}(13)\geq u_{2}(1)=u_{2}(3)>u_{2}(123)\geq u_{2}(12)=u_{2}(23)\geq u_{2}(2)}$

Unter weiteren Annahmen an die Nutzenfunktion können nun die optimalen Strategien bestimmt werden.

Die Lösung

Szenario 1. „nicht-feindliche“ Spieler

Sind alle Spieler „nicht-feindlich“ gesinnt, d. h. ist es ihnen gleich, wie viele andere Spieler tot sind, solange sie nur selbst am Leben bleiben (das würde für die Nutzenfunktion des zweiten Spielers bedeuten: ${\displaystyle u(123)=u_{2}(12)=u_{2}(23)=u_{2}(2)}$), dann ist das In-die-Luftschießen aller Spieler die einzige Lösung des Spiels.

Szenario 2. Mindestens ein „feindlicher“ Spieler

Ist jedoch einer der Spieler „feindlich“ gesinnt (z. B. ${\displaystyle u_{2}(23)>u_{2}(2)}$), so gibt es – je nach Trefferwahrscheinlichkeiten der einzelnen Spieler – genau eine der folgenden Lösungen:

• Wenn G₂ > 0 : Alle schießen aufeinander.
• Wenn G₂ < 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt in die Luft.
• Wenn G₂ = 0 : Die beiden Stärksten schießen aufeinander. Der Schwächste schießt mit einer beliebigen Wahrscheinlichkeit auf den Stärksten.

Dabei ist ${\displaystyle G_{2}(a,b,c)=-1+b+b^{2}c+a\left(b+c-b^{2}-2bc-b^{2}c\right)+a^{2}b^{2}c\;\;\;f{\ddot {u}}r\;\;\;0<a\leq b\leq c<1}$

Beispiel: Für a = 1/3, b = 2/3 und c = 1 ist G₂(a,b,c) = -0.24926, d. h. der Schwächste würde in die Luft schießen und die anderen beiden aufeinander.

Die folgende Tabelle verdeutlicht den großen Vorteil, den der schwächste Schütze im Triell hat. Im ersten Beispiel (Gardner) überlebt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 54 %. Der beste Schütze, der immer trifft, geht jedoch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % als Sieger hervor (beide Aussagen für das Szenario Mindestens ein „feindlicher“ Spieler).

Tabelle: Optimale Strategien und Überlebenswahrscheinlichkeiten (ÜW) in zwei beispielhaften Triellen

TW steht für die Trefferwahrscheinlichkeit des jeweiligen Schützen. Simuliert wurde jeweils 10.000 Mal. Das Ereignis zu überleben oder nicht ist dabei für jeden Schützen binomialverteilt. Die mittlere Überlebenswahrscheinlichkeit bei der Simulation hat dabei eine Streuung, die proportional ist zu ${\displaystyle {\sqrt {1/n}}}$, wenn ${\displaystyle n}$ die Anzahl der Versuche ist. Dies erklärt die Abweichungen zwischen den Simulationsergebnissen und Gardners analytischen Ergebnissen ab der dritten Stelle (${\displaystyle {\sqrt {1/10000}}=10^{-2}}$).

Wenn die Überlebenswahrscheinlichkeiten als Nutzen der Spieler benutzt werden, befindet man sich automatisch im Szenario „nicht-feindlicher“ Spieler.

Die Schwierigkeit bei der Analyse des Triells besteht nicht darin, die Überlebenswahrscheinlichkeiten der Spieler zu berechnen, wenn die optimalen Strategien der Spieler schon bekannt sind, sondern die optimalen Strategien erst einmal herauszufinden.

Kritik an der Lösung

Es lassen sich einige Kritikpunkte in obiger Analyse finden. So sind nur stationäre Strategien zugelassen, was bedeutet, dass kein Strategiewechsel während des Schusswechsels vorgenommen werden kann. Zudem ist der Einfluss von Risikoeinstellungen (beispielsweise Risikoaversion) nicht ausdrücklich berücksichtigt.