Antisymmetrie

Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die Antisymmetrie der Lie-Klammer, das heißt ${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$ für alle ${\displaystyle x,y\in V}$. Hat der Körper ${\displaystyle K}$ nicht die Charakteristik ${\displaystyle 2}$, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft ${\displaystyle [x,x]=0}$ herleiten. Dazu setzt man ${\displaystyle y=x}$.

Flexibilität

Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht assoziativ, das heißt der Term ${\displaystyle [[x,y],z]}$ muss nicht gleich dem Term ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das Flexibilitätsgesetz, es gilt also ${\displaystyle [[x,y],x]=[x,[y,x]]}$ für alle Elemente ${\displaystyle x,y\in V}$.

Triviale Lie-Klammer

Ist ${\displaystyle V}$ ein beliebiger Vektorraum und sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zwei Elemente des Raums, dann kann durch

${\displaystyle [a,b]:=0}$

immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als abelsche Lie-Algebren bezeichnet.

Matrix-Kommutator

Seien ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle C}$ drei ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Einträgen in einem Körper ${\displaystyle K}$ (zum Beispiel dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen oder dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen). Der Kommutator ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ für quadratische Matrizen ist definiert durch

${\displaystyle [A,B]:=A\cdot B-B\cdot A}$,

wobei mit ${\displaystyle \cdot }$ die Matrixmultiplikation bezeichnet wird. Für ${\displaystyle \lambda ,\mu \in K}$ gelten für den Kommutator die Rechenregeln

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda A+\mu B,C\right]&=(\lambda A+\mu B)\cdot C-C\cdot (\lambda A+\mu B)\\&=\lambda (A\cdot C-C\cdot A)+\mu (B\cdot C-C\cdot B)\\&=\lambda [A,C]+\mu [B,C]\,,\end{aligned}}}$

${\displaystyle [A,A]=A\cdot A-A\cdot A=0}$ und

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right]=&[A,B\cdot C-C\cdot B]+[B,C\cdot A-A\cdot C]+[C,A\cdot B-B\cdot A]\\=&A\cdot (B\cdot C-C\cdot B)-(B\cdot C-C\cdot B)\cdot A+B\cdot (C\cdot A-A\cdot C)\\&-(C\cdot A-A\cdot C)\cdot B+C\cdot (A\cdot B-B\cdot A)-(A\cdot B-B\cdot A)\cdot C\\=&0\,.\end{aligned}}}$

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die Pauli-Matrizen

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

über dem Körper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von ${\displaystyle \sigma _{1}}$ und ${\displaystyle \sigma _{3}}$, so gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{1},\sigma _{3}\right]&=\sigma _{1}\cdot \sigma _{3}-\sigma _{3}\cdot \sigma _{1}\\&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\\&=-2\mathrm {i} {\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}\\&=-2\mathrm {i} \,\sigma _{2}\,.\end{aligned}}}$

Kreuzprodukt

Für ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{3}}$ ist das Kreuzprodukt

${\displaystyle a\times b={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}}$

eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität ${\displaystyle a\times a=0}$ können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die Jacobi-Identität zu erkennen, muss der Term

${\displaystyle a\times \left(b\times c\right)+b\times \left(c\times a\right)+c\times \left(a\times b\right)}$

komponentenweise ausgerechnet werden.

Lie-Klammer von Vektorfeldern

Seien ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ zwei Vektorfelder auf der ${\displaystyle n}$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}Y)f=X(Y(f))-Y(X(f))}$.

Dieser Operator ${\displaystyle (X,Y)\mapsto {\mathcal {L}}_{X}Y}$ erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch ${\displaystyle [X,Y]:={\mathcal {L}}_{X}Y}$.

Jacobi-Klammer

Seien ${\displaystyle A}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle B}$ eine kommutative Algebra über ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle \delta _{1},\delta _{2}\in \operatorname {Der} (B)}$ zwei Derivationen von ${\displaystyle B}$. Dann ist die durch

${\displaystyle [\delta _{1},\delta _{2}]:=\delta _{1}\delta _{2}-\delta _{2}\delta _{1}}$

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird Jacobi-Klammer genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist diese Lie-Klammer ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.

Poisson-Klammer

Die Poisson-Klammer ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der glatten Funktionen operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

${\displaystyle \{fg,h\}=f\{g,h\}+\{f,h\}g}$

für alle glatten Funktionen ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden Poisson-Mannigfaltigkeiten genannt. Beispielsweise kann jede symplektische Mannigfaltigkeit auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten ${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n},p_{1},\ldots ,p_{n})}$ hat die Poisson-Klammer die Darstellung

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}\right)}$.