Typ und Kotyp eines Banach-Raumes

Typ und Kotyp eines Banach-Raumes sind eine Klassifikation von Banach-Räumen und ein Maß um zu messen, wie weit ein Banach-Raum von einem Hilbert-Raum entfernt ist.

Ausgangspunkt ist die pythagoreische Identität eines Hilbert-Raumes. In einem Hilbert-Raum gilt für orthogonale Vektoren $(e_{k})_{k=1}^{n}$ die Identität

\left\|\sum _{k=1}^{n}e_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left\|e_{k}\right\|^{2}.

Dies ist in allgemeinen Banach-Räumen nicht mehr der Fall. Die Orthogonalität wird in der Definition mit Hilfe von Rademacher-Zufallsvariablen formuliert, deshalb spricht man auch von Rademacher-Typ und Rademacher-Kotyp.

Definition

Sei

$(X,\|\cdot \|)$ ein Banach-Raum,
$(\varepsilon _{i})$ eine Folge von unabhängigen Rademacher-Zufallsvariablen, das heißt $P(\varepsilon _{i}=-1)=P(\varepsilon _{i}=1)=1/2$ sowie $\mathbb {E} [\varepsilon _{i}\varepsilon _{m}]=0$ für $i\neq m$ (Orthogonalität) und $\operatorname {Var} [\varepsilon _{i}]=1$ .

Typ

$X$ ist vom Typ $p$ mit $p\in [1,2]$ , falls eine endliche Konstante $C\geq 1$ existiert, so dass

\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{p}\right]\leq C^{p}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{p}\right)

für alle endlichen Folgen $(x_{i})\in X$ . Die beste Konstante $C$ nennen wir Type- $p$ -Konstante und notieren sie mit $T_{p}(X)$ .

Kotyp

$X$ ist vom Kotyp $q$ mit $q\in [2,\infty ]$ , falls eine endliche Konstante $C\geq 1$ existiert, so dass

\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|^{q}\right]\geq {\frac {1}{C^{q}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\|x_{i}\|^{q}\right),\quad {\text{wenn}}\;2\leq q<\infty

respektive

\mathbb {E} _{\varepsilon }\left[\left\|\sum \limits _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}x_{i}\right\|\right]\geq {\frac {1}{C}}\sup \|x_{i}\|,\quad {\text{wenn}}\;q=\infty

für alle endlichen Folgen $(x_{i})\in X$ . Die beste Konstante $C$ nennen wir Kotyp- $q$ -Konstante und notieren sie mit $C_{q}(X)$ .

Erläuterungen

Durch ziehen der $p$ -ten resp. $q$ -ten Wurzel erhält man die Gleichung für die (Bochner)- $L^{p}$ -Norm.

Eigenschaften

Die Gleichung lässt sich auch verkürzt mit der Bochner-Lebesgue-Norm schreiben.
Jeder Banach-Raum ist von Typ $1$ (folgt aus der Dreiecksungleichung).

Ein Banach-Raum:

ist von Typ $2$ und Kotyp $2$ genau dann, wenn er isomorph zu einem Hilbert-Raum ist, dann gilt die pythagoreische Identität.
der vom Typ $p$ ist, ist auch vom Typ $p'\in [1,p]$ .
der vom Kotyp $q$ ist, ist auch vom Kotyp $q'\in [q,\infty ]$ .
der vom Typ $p$ (mit $1<p\leq 2$ ) ist, besitzt einen Dualraum $X^{*}$ vom Kotyp $p^{*}$ , wobei $p^{*}$ der konjugierte Index $p^{*}:=(1-1/p)^{-1}$ ist. Weiter gilt $C_{p^{*}}(X^{*})\leq T_{p}(X)$

Beispiele

Die $L^{p}$ -Räume für $p\in [1,2]$ sind vom Typ $p$ und vom Kotyp $2$ , das heißt $L^{1}$ ist vom Typ $1$ , $L^{2}$ ist vom Typ $2$ usw.
Die $L^{p}$ -Räume für $p\in [2,\infty )$ sind vom Typ $2$ und vom Kotyp $p$ .
$L^{\infty }$ ist vom Typ $1$ und vom Kotyp $\infty$ .

Literatur

Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces. Hrsg.: Springer New York. 1984.
Laurent Schwartz: Geometry and Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. 2006, ISBN 978-3-540-10691-3.
M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

Einzelnachweise

↑ Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
↑ Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.
↑ M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.

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[1] Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.

[2] Daniel Li und Hervé Queffélec: Introduction to Banach Spaces: Analysis and Probability. In: Cambridge University Press (Hrsg.): Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 2017, S. 159–209, doi:10.1017/CBO9781316675762.009.

[3] M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.