Drehgruppen

Die endlichen zyklischen Gruppen können veranschaulicht werden als Drehgruppen regulärer Vielecke in der Ebene. Zum Beispiel besteht die Gruppe ${\displaystyle C_{4}}$ aus den möglichen Drehungen der Ebene, die ein vorgegebenes Quadrat in sich überführen.

Die obenstehende Abbildung zeigt ein Quadrat A und die Stellungen B, C und D, in die es durch Drehen überführt werden kann. Darunter ist jeweils die dazu nötige Drehung angegeben. Die Elemente der zyklischen Gruppe sind hier die Bewegungen und nicht die Stellungen des Quadrats. Das heißt, die Gruppe ${\displaystyle C_{4}}$ besteht in dieser Darstellung aus der Menge {0°, 90°, 180°, 270°}. Die Verknüpfung der Elemente ist die Hintereinanderausführung der Drehungen; das entspricht einer Addition der Winkel. Dabei stimmt die Drehung um 360° mit der Drehung um 0° überein, die Winkel werden also genau genommen modulo 360° addiert.

Lässt man nicht nur Drehungen der Ebene zu, sondern auch Spiegelungen, dann erhält man im Fall von Vielecken die so genannten Diedergruppen.

Die Drehgruppe des Kreises, ${\displaystyle S^{1}}$, ist nicht zyklisch.

Restklassengruppen

Eine andere Darstellung einer zyklischen Gruppe liefert die Addition modulo einer Zahl, die so genannte Restklassenarithmetik. In der additiven Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ist die Restklasse ${\displaystyle {\bar {1}}}$ der 1 ein Erzeuger, das heißt, man kann jede andere Restklasse erhalten, indem man die 1 wiederholt mit sich selbst addiert. Am Beispiel ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} =\{{\bar {0}},{\bar {1}},{\bar {2}},{\bar {3}}\}}$ bedeutet dies, dass sich alle 4 Elemente als Summe von 1 darstellen lassen, also ${\displaystyle {\bar {1}}={\bar {1}},{\bar {2}}={\bar {1}}+{\bar {1}},{\bar {3}}={\bar {1}}+{\bar {1}}+{\bar {1}},{\bar {0}}={\bar {1}}+{\bar {1}}+{\bar {1}}+{\bar {1}}.}$ Die Restklassengruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ verhält sich genauso wie die oben beschriebene Drehgruppe {0°, 90°, 180°, 270°}: ${\displaystyle {\bar {0}}}$ entspricht 0°, ${\displaystyle {\bar {1}}}$ entspricht 90° usw.: Diese beiden Gruppen sind isomorph.

Untergruppen und Faktorgruppen

Alle Untergruppen und Faktorgruppen von zyklischen Gruppen sind zyklisch. Insbesondere sind die Untergruppen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ von der Form ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ mit einer natürlichen Zahl ${\displaystyle m\in \mathbb {N} _{0}}$. Für verschiedene ${\displaystyle m}$ sind diese Untergruppen verschieden, und für ${\displaystyle m\not =0}$ sind sie isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Der Verband der Untergruppen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist isomorph zum dualen Verband der natürlichen Zahlen mit der Teilbarkeit. Alle Faktorgruppen von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sind endlich, mit Ausnahme der trivialen Faktorgruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /\{0\}}$.

Für jeden positiven Teiler ${\displaystyle d}$ von ${\displaystyle n}$ hat die Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ genau eine Untergruppe der Ordnung ${\displaystyle d}$, nämlich die von dem Element ${\displaystyle n/d}$ erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \left\{kn/d\mid k=0,\ldots ,d-1\right\}}$. Andere als diese Untergruppen gibt es nicht. Der Untergruppenverband ist deshalb isomorph zum Teilerverband von ${\displaystyle n}$.

Eine zyklische Gruppe ist genau dann einfach, wenn ihre Ordnung eine Primzahl ist.

Endomorphismen und Automorphismen

Der Endomorphismenring (siehe Gruppenhomomorphismus) der Gruppe ${\displaystyle C_{n}}$ ist Ring-isomorph zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$. Unter diesem Isomorphismus entspricht die Restklasse ${\displaystyle r}$ von ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ dem Endomorphismus von ${\displaystyle C_{n}}$, der jedes Element auf seine ${\displaystyle r}$-te Potenz abbildet. Daraus folgt, dass die Automorphismengruppe von ${\displaystyle C_{n}}$ isomorph zur Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$, der Einheitengruppe des Rings ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$, ist. Diese Gruppe besteht aus den Elementen, die teilerfremd zu ${\displaystyle n}$ sind, und hat somit genau ${\displaystyle \phi (n)}$ Elemente.

Der Endomorphismenring der zyklischen Gruppe ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist isomorph zum Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, und die Automorphismengruppe ist isomorph zur Einheitengruppe ${\displaystyle \left\{+1,-1\right\}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, und diese ist isomorph zur zyklischen Gruppe ${\displaystyle C_{2}}$.

Algebraische Eigenschaften

Ist ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl, dann ist ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}}$ genau dann zyklisch, wenn ${\displaystyle n}$ gleich ${\displaystyle 1,2,4,p^{k}}$ oder ${\displaystyle 2p^{k}}$ ist, für eine Primzahl ${\displaystyle p>2}$ und eine natürliche Zahl ${\displaystyle k}$. Die Erzeuger dieser zyklischen Gruppe heißen Primitivwurzeln modulo ${\displaystyle n}$.

Insbesondere ist für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ die Gruppe ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}}$ zyklisch mit ${\displaystyle p-1}$ Elementen. Allgemeiner ist jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch.

Die Galoisgruppe einer endlichen Körpererweiterung eines endlichen Körpers ist eine endliche zyklische Gruppe. Umgekehrt gibt es für jeden endlichen Körper ${\displaystyle K}$ und jede endliche zyklische Gruppe ${\displaystyle G}$ eine endliche Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$ mit Galoisgruppe ${\displaystyle G}$.