Ring

Ein Ring ${\displaystyle (R,+,\,\cdot \,)}$ ist eine Menge ${\displaystyle R}$ mit zwei zweistelligen Operationen ${\displaystyle +}$ und ${\displaystyle \cdot }$, für die die folgenden Beziehungen, genannt Ringaxiome, gelten:

• ${\displaystyle (R,+\,)}$ ist eine abelsche Gruppe unter der Addition ${\displaystyle +}$, deren neutrales Element als Nullelement des Rings ${\displaystyle R}$ mit ${\displaystyle 0}$ bezeichnet wird.
• ${\displaystyle (R,\cdot \,)}$ ist eine Halbgruppe unter der Multiplikation ${\displaystyle \cdot }$ . In der gängigen Schreibung bindet ${\displaystyle \cdot }$ stärker als ${\displaystyle +}$ und wird sehr häufig sogar weggelassen.
• Es gelten die Distributivgesetze

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)=ab+ac}$       (linke Distributivität)

und

${\displaystyle (a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)=ac+bc}$       (rechte Distributivität)

für alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ .

Ein Ring heißt kommutativ, falls er bezüglich der Multiplikation kommutativ ist, ansonsten spricht man von einem nicht-kommutativen Ring.

Ring mit Eins (unitärer Ring)

Hat die Halbgruppe ${\displaystyle (R,\cdot )}$ ein (beidseitiges) neutrales Element ${\displaystyle 1}$, ist also ein Monoid, dann nennt man ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ einen Ring mit Eins oder unitären Ring. Ringe mit nur links- oder nur rechtsneutralem Element gelten in der Ringtheorie nicht als unitär.

Manche Autoren verstehen unter einem Ring grundsätzlich einen (kommutativen) Ring mit Eins und sprechen andernfalls von einem Pseudo-Ring, englisch auch rng (sic!) oder non-unital ring.
In der Kategorie der Ringe mit Eins muss die Eins auch bei Ringhomomorphismen erhalten bleiben.

Jeder Ring lässt sich in einen unitären Ring einbetten.

Kommutativer Ring mit Eins

In der kommutativen Algebra werden Ringe als kommutative Ringe mit Eins definiert.

Unter- und Oberring

Eine Untermenge ${\displaystyle U}$ eines Ringes ${\displaystyle R}$ heißt Unterring (oder Teilring) von ${\displaystyle R}$, wenn ${\displaystyle U}$ zusammen mit den beiden auf ${\displaystyle U}$ eingeschränkten Verknüpfungen von ${\displaystyle R}$ wieder ein Ring ist. ${\displaystyle U}$ ist genau dann ein Unterring von ${\displaystyle R}$, wenn ${\displaystyle U}$ eine Untergruppe bezüglich der Addition ist und ${\displaystyle U}$ abgeschlossen bzgl. der Multiplikation ist, d. h.

${\displaystyle x\cdot y\in U}$, wenn ${\displaystyle x\in U}$ und ${\displaystyle y\in U}$.

Auch wenn ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Eins ist, so muss die Eins nicht notwendigerweise in ${\displaystyle U}$ enthalten sein. ${\displaystyle U}$ kann auch ein Ring ohne Eins sein – etwa ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} }$ – oder eine andere Eins haben. In der Kategorie der Ringe mit Eins wird von einem Unterring verlangt, dass er dasselbe Einselement enthält (dafür ist es zwar notwendig, aber nicht immer hinreichend, dass der Unterring ein auf diesen bezogen multiplikativ neutrales Element enthält).

Der Durchschnitt von Unterringen ist wieder ein Unterring, und der von ${\displaystyle A\subseteq R}$ erzeugte Unterring wird definiert als der Durchschnitt aller ${\displaystyle A}$ umfassenden Unterringe von ${\displaystyle R}$.

Ein Ring ${\displaystyle S}$ heißt Oberring oder Erweiterung eines Ringes ${\displaystyle R}$, wenn ${\displaystyle R}$ ein Unterring von ${\displaystyle S}$ ist. Es ist auch üblich von einer Ringerweiterung zu sprechen, wenn man einen Ring mit einem Oberring betrachtet. Dies ist analog zum Begriff der Körpererweiterung.

Beispiel 1

Jeder Ring kann in einen Ring mit Einselement eingebettet werden.

Beispiel 2

Folgende Ringerweiterung findet sich in E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes:
Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring, ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle R}$-Modul und ${\displaystyle S=R\oplus M}$ die direkte Summe der abelschen Gruppen. Eine Multiplikation auf ${\displaystyle S}$ sei definiert durch

${\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}$

(Die Identifikation von ${\displaystyle (a,x)}$ mit ${\displaystyle a+\varepsilon x}$ mit einem ${\displaystyle \varepsilon }$, für das ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ist, und Ausrechnen von ${\displaystyle (a+\varepsilon x)(b+\varepsilon y)}$ ergibt die genannte Formel.) ${\displaystyle S}$ erweist sich als Ring. Man hat die exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to M\to S{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}$

mit der Projektion ${\displaystyle p}$. Somit ist ${\displaystyle S}$ eine Erweiterung von ${\displaystyle R}$ um ${\displaystyle M}$. Eine andere bemerkenswerte Eigenschaft dieser Konstruktion ist, dass der Modul ${\displaystyle M}$ zum Ideal eines neuen Ringes ${\displaystyle S}$ wird. Nagata nennt diesen Vorgang Prinzip der Idealisierung.

Ideal

Zu einem Ring ${\displaystyle R}$ heißt eine Teilmenge ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R}$ Linksideal (bzw. Rechtsideal), wenn gilt:

• ${\displaystyle I}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle (R,+)}$.
• Für alle ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle x\in R}$ ist ebenfalls ${\displaystyle x\cdot a\in I}$ (bzw. ${\displaystyle a\cdot x\in I}$).

Ist ${\displaystyle I}$ sowohl Links- als auch Rechtsideal, so heißt ${\displaystyle I}$ zweiseitiges Ideal oder auch nur Ideal.

Enthält in einem Ring mit Eins ein (Links-, Rechts-)Ideal die Eins, so umfasst es ganz ${\displaystyle R}$. Da ${\displaystyle R}$ auch ein Ideal ist, ist ${\displaystyle R}$ das einzige (Links-, Rechts-)Ideal, das die Eins enthält. ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$ sind die sogenannten trivialen Ideale.

Eingeschränkt auf die Teilmengen von ${\displaystyle R}$ ist der Begriff Ideal mit dem Begriff ${\displaystyle R}$-Modul synonym, also auch Linksideal mit ${\displaystyle R}$-Linksmodul usw.

Jedes Ideal ${\displaystyle I}$ von ${\displaystyle R}$ ist auch ein Unterring von ${\displaystyle R}$, ggf. ohne Eins. In der Kategorie der Ringe mit 1 gilt ${\displaystyle I}$ dann nicht als Unterring.

Faktorring

Ist ${\displaystyle I}$ ein Ideal in einem Ring ${\displaystyle R}$, dann kann man die Menge der Nebenklassen

${\displaystyle R/I:=\{x+I\mid x\in R\}}$

bilden. Die Verknüpfung ${\displaystyle +}$ lässt sich wegen ihrer Kommutativität immer auf ${\displaystyle R/I}$ fortsetzen; die Verknüpfung ${\displaystyle \cdot }$ jedoch nur, wenn ${\displaystyle I}$ ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle R}$ ist. Ist dies der Fall, dann ist ${\displaystyle R/I}$ mit den induzierten Verknüpfungen ein Ring. Er wird Faktorring ${\displaystyle R/I}$ genannt – gesprochen: ${\displaystyle R}$ modulo ${\displaystyle I}$.

Der Ringhomomorphismus

${\displaystyle \varphi \colon R\to R/I}$,

der einem Element ${\displaystyle x}$ seine Nebenklasse ${\displaystyle x+I=:{\bar {x}}}$ zuordnet, hat ${\displaystyle I}$ zum Kern.

Grundring

In einem Ring ${\displaystyle R}$ mit Eins wird der von ${\displaystyle 1}$ erzeugte Unterring als der Grundring bezeichnet. Hat dieser endliche Mächtigkeit ${\displaystyle k,}$ so ist ${\displaystyle k}$ die Charakteristik von ${\displaystyle R,}$ abgekürzt: ${\displaystyle \operatorname {char} (R)=k,}$ und man sagt, ${\displaystyle R}$ habe positive Charakteristik. Andernfalls wird ${\displaystyle \operatorname {char} (R)=0}$ gesetzt. Damit ist im endlichen wie unendlichen Fall der unitäre Ringhomomorphismus

${\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbb {Z} /\left(\operatorname {char} (R)\,\mathbb {Z} \right)&\to &R\\{\bar {n}}&\mapsto &n\cdot 1=1\cdot n\end{array}}}$

injektiv. Der Grundring ist das Bild ${\displaystyle {\bar {\mathbb {Z} }},}$ und jedes seiner Elemente ist mit jedem Ringelement vertauschbar. Außerdem ist für jedes Ringelement ${\displaystyle a\in R}$

${\displaystyle (-1)\cdot a=a\cdot (-1)=-a}$

das additive Inverse von ${\displaystyle a.}$

Polynomring

Ist ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring mit Eins, so kann der Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ gebildet werden. Dieser besteht aus Polynomen mit Koeffizienten aus ${\displaystyle R}$ und der Variablen ${\displaystyle X}$ zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation für Polynome. Eigenschaften von ${\displaystyle R}$ übertragen sich zum Teil auf den Polynomring. Ist ${\displaystyle R}$ nullteilerfrei, faktoriell oder noethersch, so trifft dies auch auf ${\displaystyle R[X]}$ zu.

Matrizenring

Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring mit Eins, so kann zu gegebenem ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ der Matrizenring ${\displaystyle R^{n\times n}}$ gebildet werden. Dieser besteht aus den quadratischen Matrizen mit Einträgen aus ${\displaystyle R}$ mit der üblichen Addition und Multiplikation für Matrizen. Der Matrizenring ist wiederum ein Ring mit Eins. Jedoch ist der Matrizenring für ${\displaystyle n>1}$ weder kommutativ noch nullteilerfrei, selbst wenn ${\displaystyle R}$ diese Eigenschaften hat.

Direktes Produkt

Sind ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ Ringe, dann kann das Mengenprodukt ${\displaystyle R\times S}$ auf natürliche Weise mit einer Ringstruktur ausgestattet werden:

• ${\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2}):=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}$
• ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})\;\;:=(r_{1}\cdot r_{2},s_{1}\cdot s_{2})}$

Denn die Gültigkeit des Distributivgesetzes in jeder Komponente überträgt sich unmittelbar auf das Mengenprodukt.

Sind beide Ringe ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ unitär, dann ist auch ${\displaystyle R\times S}$ unitär mit ${\displaystyle (1_{R},1_{S})}$ als dem Einselement.

Dieselbe Konstruktion ist möglich mit einer beliebigen Familie von Ringen: Sind ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$ Ringe über einer Indexmenge ${\displaystyle I}$, dann ist ${\displaystyle \prod _{i\in I}R_{i}}$ ein Ring, genannt das direkte Produkt der ${\displaystyle R_{i}.}$ Ein Unterring des direkten Produkts ist die direkte Summe, bei der nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind.

Ringhomomorphismus

Für zwei Ringe ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ heißt eine Abbildung

${\displaystyle \varphi \colon R\to S}$

Ringhomomorphismus (kurz Homomorphismus), falls für alle ${\displaystyle x,y\in R}$ gilt:

${\displaystyle \varphi (x+y)=\varphi (x)+\varphi (y)}$       und

${\displaystyle \varphi (x\cdot y)\;\;=\varphi (x)\cdot \varphi (y).}$

Der Kern ${\displaystyle \operatorname {ker} \varphi$ :=\lbrace x\in R\mid \varphi (x)=0\rbrace } des Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ ist ein zweiseitiges Ideal in ${\displaystyle R}$.

Ein Morphismus ${\displaystyle \varphi }$ von Ringen mit Eins muss außerdem noch die Bedingung erfüllen, dass das Einselement auf das Einselement abgebildet wird:

${\displaystyle \varphi (1_{R})=1_{S}}$

Isomorphismus

Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Die Ringe ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle S}$ heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus von ${\displaystyle R}$ nach ${\displaystyle S}$ gibt. In diesem Fall ist auch die Umkehrabbildung ein Isomorphismus; die Ringe haben dann dieselbe Struktur.

Beispiel

Ausgestattet mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation ist das direkte Produkt ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ein Ring. Dann ist mit ${\displaystyle r,s\in \mathbb {Z} }$ die Abbildung

${\displaystyle {\begin{array}{llll}&\mathbb {Z} &\to &\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\&z&\mapsto &(rz,sz)\end{array}}}$

ein Homomorphismus von Ringen; ein Homomorphismus von Ringen mit Eins aber nur, wenn ${\displaystyle (r,s)=(1,1).}$

Teiler und Nullteiler

Von zwei Elementen ${\displaystyle a,b\in R}$ heißt ${\displaystyle a}$ linker Teiler (Linksteiler) von ${\displaystyle b}$, falls ein ${\displaystyle x\in R}$ mit ${\displaystyle b=a\cdot x}$ existiert. Dann ist auch ${\displaystyle b}$ rechtes Vielfaches von ${\displaystyle a}$. Entsprechend definiert man rechten Teiler (Rechtsteiler) und linkes Vielfaches.

In kommutativen Ringen ist ein linker Teiler auch ein rechter und umgekehrt. Man schreibt hier auch ${\displaystyle a\mid b}$, falls ${\displaystyle a}$ ein Teiler von ${\displaystyle b}$ ist.

Alle Elemente von ${\displaystyle R}$ sind (Rechts- bzw. Links-) Teiler der Null. Der Begriff des (Rechts- bzw. Links-) Nullteilers hat eine andere Definition. Wenn ${\displaystyle 0}$ nach dieser als Nullteiler zählt, gilt der Satz: Ein Element ist genau dann (Rechts- bzw. Links-) Nullteiler, wenn es nicht (rechts- bzw. links-) kürzbar ist.

Invertierbarkeit, Einheit

Existiert in einem Ring ${\displaystyle R}$ mit Eins zu einem Element ${\displaystyle u}$ ein Element ${\displaystyle x}$, so dass ${\displaystyle xu=1}$ (bzw. ${\displaystyle ux=1}$) gilt, so nennt man ${\displaystyle x}$ ein Linksinverses (bzw. Rechtsinverses) von ${\displaystyle u}$. Besitzt ${\displaystyle u}$ sowohl Links- als auch Rechtsinverses, so nennt man ${\displaystyle u}$ invertierbar oder Einheit des Ringes. Die Menge der Einheiten eines Ringes ${\displaystyle R}$ mit Eins wird gewöhnlich mit ${\displaystyle R^{*}}$ oder ${\displaystyle R^{\times }}$ bezeichnet. ${\displaystyle R^{*}}$ bildet bezüglich der Ringmultiplikation eine Gruppe – die Einheitengruppe des Ringes. Ist ${\displaystyle R^{*}=R\backslash \left\{0\right\}}$, so ist ${\displaystyle R}$ ein Schiefkörper, ist ${\displaystyle R}$ darüber hinaus kommutativ, so ist ${\displaystyle R}$ ein Körper.

In kommutativen Ringen mit Eins (insbesondere Integritätsringen) werden die Einheiten oft als diejenigen Elemente definiert, die die Eins teilen. Dies ist in diesem Fall zur obigen Definition äquivalent, da ${\displaystyle u}$ genau dann die Eins teilt, wenn es ein ${\displaystyle x}$ gibt mit ${\displaystyle xu=ux=1}$.

Assoziierte Elemente

Zwei Elemente ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ sind genau dann rechts assoziiert, wenn es eine Rechtseinheit ${\displaystyle u}$ gibt, sodass ${\displaystyle au=b}$. Links assoziiert bei ${\displaystyle ua=b}$ mit einer Linkseinheit ${\displaystyle u}$.

Wenn in einem kommutativen Ring mit Eins die Elemente ${\displaystyle a,b}$ in der Beziehung ${\displaystyle a\mid b}$ und ${\displaystyle b\mid a}$ stehen, dann sind ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ zueinander assoziiert. Die Seitigkeit (links, rechts) kann also weggelassen werden.

Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation.

Irreduzibilität

Ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle q}$ heißt irreduzibel, wenn es weder Linkseinheit noch Rechtseinheit ist und es keine Nicht-Linkseinheit ${\displaystyle a}$ und keine Nicht-Rechtseinheit ${\displaystyle b}$ mit ${\displaystyle q=ab}$ gibt, wenn also aus der Gleichung folgt, dass ${\displaystyle a}$ Linkseinheit oder ${\displaystyle b}$ Rechtseinheit ist.

In einem kommutativen Ring genügt es zu fordern, dass ${\displaystyle q}$ von 0 verschieden ist, keine Einheit ist und aus ${\displaystyle q=ab}$ folgt, dass ${\displaystyle a}$ oder ${\displaystyle b}$ eine Einheit ist.

Primelement

Für kommutative unitäre Ringe definiert man: Ein Element ${\displaystyle p}$ heißt prim oder Primelement, wenn es keine Einheit und ungleich 0 ist und aus ${\displaystyle p\mid ab}$ folgt ${\displaystyle p\mid a}$ oder ${\displaystyle p\mid b}$ (siehe auch Hauptartikel: Primelement).

In einem nullteilerfreien Ring ist jedes Primelement irreduzibel. In einem faktoriellen Ring ist umgekehrt auch jedes irreduzible Element ein Primelement.