In der Mathematik ist die universelle zentrale Erweiterung einer Gruppe ein Begriff aus der Gruppentheorie.

Definition

Eine zentrale Erweiterung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ durch eine abelsche Gruppe ${\displaystyle A}$ besteht aus einer Gruppe ${\displaystyle E}$ und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \phi \colon E\to G}$ mit Kern isomorph zu ${\displaystyle A}$. Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen ${\displaystyle \phi \colon E\to G,\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G}$ derselben Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \psi \colon E\to E^{\prime }}$ mit ${\displaystyle \phi ^{\prime }\psi =\phi }$.

Eine zentrale Erweiterung

${\displaystyle \phi \colon E\to G}$

heißt universelle zentrale Erweiterung, wenn es für jede andere zentrale Erweiterung

${\displaystyle \phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G}$

einen eindeutigen Morphismus zentraler Erweiterungen von ${\displaystyle \phi \colon E\to G}$ nach ${\displaystyle \phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G}$ gibt.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine universelle zentrale Erweiterung ist bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, aber eine Gruppe ${\displaystyle G}$ hat nur dann eine universelle zentrale Erweiterung, wenn sie perfekt ist. In diesem Fall ist eine zentrale Erweiterung ${\displaystyle \phi \colon E\to G}$ genau dann universell, wenn ${\displaystyle E}$ perfekt ist und alle zentralen Erweiterungen von ${\displaystyle E}$ trivial sind. Äquivalent ist eine zentrale Erweiterung einer perfekten Gruppe genau dann universell, wenn ${\displaystyle H_{1}(E,\mathbb {Z} )=0}$ und ${\displaystyle H_{2}(E,\mathbb {Z} )=0}$. Der Kern ${\displaystyle A}$ der universellen zentralen Erweiterung ist isomorph zu ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )}$.

Unter dem Isomorphismus ${\displaystyle Ext(G,A)\simeq H^{2}(G,A)\simeq Hom(H_{2}(G,\mathbb {Z} ),A)}$ entspricht die universelle zentrale Erweiterung der Identität ${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\to A}$.

Für eine perfekte Gruppe mit Präsentierung ${\displaystyle \langle F\mid R\rangle }$ konstruiert man die universelle zentrale Erweiterung als ${\displaystyle E=\left[F,F\right]/\left[F,R\right]}$.

Beispiele

• Für eine perfekte endliche Gruppe ist die Schur-Überlagerung die universelle zentrale Erweiterung. Der Kern ist der Schur-Multiplikator.
• ${\displaystyle SU(2)}$ ist die universelle zentrale Erweiterung von ${\displaystyle SO(3)}$. Der Kern ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.
• Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring. Die Steinberg-Gruppe ${\displaystyle St(R)}$ ist die universelle zentrale Erweiterung der Kommutatorgruppe ${\displaystyle \left[GL(R),GL(R)\right]}$. Der Kern ist die algebraische K-Theorie ${\displaystyle K_{2}(R)}$.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994