Ober- und Untermedian

Oft möchte man sicherstellen, dass der Median ein Element der Stichprobe ist. In diesem Fall wird alternativ zu obiger Definition bei einer geraden Anzahl ${\displaystyle n=2m}$ von Elementen entweder der Untermedian ${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{m}}$ oder der Obermedian ${\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}$ als Median gewählt. Im Falle einer ungeraden Anzahl ${\displaystyle n=2m+1}$ der Beobachtungen gilt natürlich wie oben ${\displaystyle {\tilde {x}}={\tilde {x}}_{u}={\tilde {x}}_{o}=x_{m+1}}$.

Mithilfe von Gauß-Klammern lassen sich die Indizes auch relativ kompakt durch ${\displaystyle n}$ selbst ausdrücken:

${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}=x_{\left\lfloor {\frac {n+1}{2}}\right\rfloor }}$

${\displaystyle {\tilde {x}}_{o}=x_{\left\lceil {\frac {n+1}{2}}\right\rceil }}$

Diese Medianbestimmung spielt beispielsweise bei Datenbanksystemen eine große Rolle, wie z. B. bei SELECT-Abfragen mittels des Medians der Mediane.

Eigenschaften

Der Median ${\displaystyle {\tilde {x}}}$, und im Fall einer geraden Anzahl von Messwerten alle Werte ${\displaystyle {\tilde {x}}}$ mit ${\displaystyle {\tilde {x}}_{u}\leq {\tilde {x}}\leq {\tilde {x}}_{o}}$, minimieren die Summe der absoluten Abweichungen, das heißt, für ein beliebiges ${\displaystyle x}$ gilt

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|{\tilde {x}}-x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}|x-x_{i}|.}$

Der Median ist Grundlage der Methode der kleinsten absoluten Abweichungen und Verfahren der robusten Regression. Das arithmetische Mittel dagegen minimiert die Summe der Abweichungsquadrate, ist Grundlage der Methode der kleinsten Quadrate und der Regressionsanalyse und ist mathematisch leichter zu handhaben, jedoch nicht robust gegen Ausreißer.

Der Median kann, wie oben beschrieben, algorithmisch bestimmt werden, indem die Messwerte sortiert werden. Das ist im Allgemeinen mit Aufwand ${\displaystyle \Omega (n\log n)}$ verbunden, nur auf speziellen Klassen von Eingabedaten ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ möglich (siehe Sortieralgorithmus). Es gibt aber auch Algorithmen zur Quantilsbestimmung mit linearem Worst-Case-Aufwand ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ sowie Algorithmen zur Abschätzung, beispielsweise die Cornish-Fisher-Methode.

Median von gruppierten Daten

Vor allem in den Sozialwissenschaften wird bei Statistiken häufig der Median geschätzt, da nicht alle Daten explizit und exakt gegeben sind, sondern nur in Intervallen gruppiert vorliegen. So wird beispielsweise bei Umfragen selten nach dem exakten Gehalt gefragt, sondern nur nach der Einkommensklasse, also dem Bereich, in dem das Gehalt liegt. Wenn nur die Häufigkeiten jeder Klasse bekannt sind, dann lässt sich der Median einer solchen Stichprobe im Allgemeinen nur näherungsweise bestimmen. Es seien ${\displaystyle n}$ die Anzahl aller Daten, ${\displaystyle n_{i}}$ die jeweilige Anzahl der Daten der ${\displaystyle i}$-ten Gruppe und ${\displaystyle u_{i}}$ bzw. ${\displaystyle o_{i}}$ die entsprechenden unteren bzw. oberen Intervallgrenzen. Zunächst wird nun die mediane Klasse (oder mediane Gruppe) bestimmt, d. h., diejenige Gruppe, in die der Median (nach obiger, konventioneller Definition) hineinfällt, z. B. die ${\displaystyle m}$-te Gruppe. Die Zahl ${\displaystyle m}$ ist dadurch bestimmt, dass ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m-1}n_{k}<{\frac {n}{2}}}$, aber ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}n_{k}\geq {\frac {n}{2}}}$ gilt. Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, wird z. B. Gleichverteilung postuliert, sodass man sich der linearen Interpolation als Hilfsmittel bedienen kann, um eine Schätzung des Medians der gruppierten Daten zu erhalten:

${\displaystyle x_{\mathrm {med} }=u_{m}+{\frac {{\frac {n}{2}}-\sum \limits _{k=1}^{m-1}n_{k}}{n_{m}}}\cdot (o_{m}-u_{m})}$

Wenn keine weiteren Angaben über die Verteilung der Daten gegeben sind, kann auch jede andere Verteilung außer der Gleichverteilung vorliegen und somit kann auch jeder andere Wert im ${\displaystyle m}$-ten Intervall der Median sein.

Im Gegensatz zur konventionellen Definition des Medians muss dieser nicht zwangsläufig ein Element aus der tatsächlichen Datenmenge sein, die in aller Regel auch gar nicht bekannt ist.

Beispiel

Einkommen:

Klasse (${\displaystyle i}$)	Bereich (${\displaystyle u_{i}}$ bis ${\displaystyle o_{i}}$)	Gruppengröße (${\displaystyle n_{i}}$)
1	mind. 0, weniger als 1500	160
2	mind. 1500, weniger als 2500	320
3	mind. 2500, weniger als 3500	212

Man berechne

${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}={\tfrac {212+320+160}{2}}={\tfrac {692}{2}}=346.}$

Also liegt der Median in der 2. Klasse (d. h. ${\displaystyle m=2}$), da die erste Klasse nur 160 Elemente umfasst. Somit ergibt sich als Schätzung für den Median

${\displaystyle x_{\mathrm {med} }=1500+{\tfrac {346-160}{320}}\cdot (2500-1500)=2081{,}25.}$

Da die konkrete Verteilung der Daten in den Intervallen unbekannt ist, kann auch jeder andere Wert im 2. Intervall der Median sein. Der beispielhaft errechnete Wert 2081,25 kann daher bis zu 581,25 zu groß und bis zu 418,75 zu klein sein, der Fehler der Schätzung also bis zu 28 % betragen.

Eine Veranschaulichung dieses Verfahrens zur Festlegung des Medians bei gruppierten Daten ist die grafische Ermittlung mit Hilfe der Summenkurve. Hier wird der Abszissenwert ${\displaystyle x_{\mathrm {med} }}$ gesucht, der zum Ordinatenwert ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}}$ gehört. Bei kleinerem und geradem ${\displaystyle n}$ kann stattdessen auch der Ordinatenwert ${\displaystyle {\tfrac {n}{2}}+1}$ gewählt werden.