Spezielle Wohlfahrtsfunktionen

Eine übliche Form der Wohlfahrtsfunktion ist das Produkt aus dem Durchschnittseinkommen ${\displaystyle {\overline {y}}}$ mit einem Ungleichverteilungsmaß ${\displaystyle \alpha }$ oder dem dazugehörigen Gleichverteilungsmaß ${\displaystyle \beta =(1-\alpha )}$:

${\displaystyle W={\overline {y}}\cdot (1-\alpha (y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}))={\overline {y}}\cdot \beta (y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n})}$

Wenn alle das gleiche verdienen, dann ist ${\displaystyle W={\overline {y}}}$, ${\displaystyle \alpha =0}$ und ${\displaystyle \beta =1}$. Wenn einer alles verdient, dann ist ${\displaystyle W=0}$, ${\displaystyle \alpha =1}$ und ${\displaystyle \beta =0}$.

Das einfachste Ungleichverteilungsmaß ist die Hoover-Ungleichverteilung ${\displaystyle H}$.

${\displaystyle W_{\text{Hoover}}={\overline {y}}\cdot (1-H(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n}))}$

Diese Wohlfahrtsfunktion hat eine konkrete Bedeutung: ${\displaystyle n\cdot W_{\text{Hoover}}}$ ist der Teil des Einkommens, der unangetastet bliebe, wenn man das Volkseinkommen so umverteilen würde, dass sich eine Gleichverteilung ergäbe. ${\displaystyle W_{\text{Hoover}}}$ gibt damit an, wie viel jeder im Durchschnitt behalten dürfte, dies ist definitionsgemäß immer weniger als das Durchschnittseinkommen ${\displaystyle {\overline {y}}}$.

Auch der Gini-Koeffizient ${\displaystyle G}$ ist ein Ungleichverteilungsmaß und definiert damit eine Wohlfahrtsfunktion:

${\displaystyle W_{\text{Gini}}={\overline {y}}\cdot (1-G)}$

Auch das Atkinson-Maß ${\displaystyle A}$ (nach Anthony Atkinson) ist ein Ungleichverteilungsmaß, dessen zugehöriges Gleichverteilungsmaß ${\displaystyle e^{-T_{L}}}$ mit dem Theil-Index ${\displaystyle T_{L}}$ ist, diese definieren die folgende Wohlfahrtsfunktion:

${\displaystyle W_{\text{Theil-L}}={\overline {y}}\cdot e^{-T_{L}}={\overline {y}}\cdot (1-A)}$

Die letzten beiden Wohlfahrtsfunktionen wurden von Amartya Sen und James E. Foster vorgeschlagen.