Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Beziehungen und Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen, wobei die folgenden Veranschaulichungen üblich sind:

• ${\displaystyle x\in A}$; ${\displaystyle x}$ ist ein Element von ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle x\notin A}$; ${\displaystyle x}$ ist nicht Element von ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle B\subset A}$; ${\displaystyle B}$ ist eine Teilmenge von ${\displaystyle A}$.

Weitere Beispiele für Euler-Diagramme sind:

• Euler-Diagramm der Zahlenbereiche
• Zugehörigkeit der europäischen und nicht europäischer Staaten zu den europäischen Institutionen
• Euler-Diagramm der britischen Inseln
• Alle Lebewesen mit vier Beinen sind Tiere, aber kein Mineral ist ein Tier.

Venn-Diagramme

Anders als Euler-Diagramme beziehen Venn-Diagramme alle möglichen Relationen zwischen den betrachteten Mengen, also auch solche, die leer sind, mit in die Darstellung ein, so dass man an ihnen sowohl Zusammenhänge als auch das Fehlen von Zusammenhängen ablesen, aus dem Vorliegen oder Nicht-Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen oder Nicht-Vorliegen anderer Relationen schließen kann:

• ${\displaystyle A\cap B}$ (Schnittmenge)
• ${\displaystyle A\cup B}$ (Vereinigungsmenge)
• ${\displaystyle A\setminus B}$ (Differenzmenge)
• ${\displaystyle A\bigtriangleup B}$ (Symmetrische Differenz)
• ${\displaystyle A^{\rm {C}}}$ (Komplement von A)

Unterschiede zwischen Venn- und Eulerdiagrammen

Der Unterschied beider Mengendiagrammarten wird insbesondere dann deutlich, wenn man sich beide Diagramme für ein konkretes Beispiel anschaut. Man nehme hierzu die folgenden drei Mengen.

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Das Euler- und das Venn-Diagramm dieser drei Mengen sieht folgendermaßen aus.

• Euler-Diagramm
• Venn-Diagramm

Während in Euler-Diagrammen nur die tatsächlichen Überschneidungen zwischen den Mengen zu sehen sind, werden in Venn-Diagrammen alle möglichen Überlappungen der Flächen dargestellt (auch wenn diese keine Objekte enthalten).

Johnston-Diagramme

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, speziell Venn-Diagrammen. In einem Johnston-Diagramm wird ein Kreis (eine Menge) P als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen eine Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises (das Komplement der Menge) P wird als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen die Aussage falsch ist. Um zu sagen, dass eine Aussage wahr ist, malt man den ganzen Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz an; man zeigt so an, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht zutreffen können. Um umgekehrt zu sagen, dass eine Aussage falsch ist, malt man den Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz aus; man sagt so, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage wahr ist, nicht zutreffen können. Kombiniert man zwei Aussagen P, Q durch eine Konjunktion, d. h. will man ausdrücken, dass beide Aussagen wahr sind, malt man die gesamte Fläche, die außerhalb der Schnittfläche der Kreise P, Q liegt, schwarz an; man sagt so, dass keiner der Sachverhalte, unter denen nicht sowohl P als auch Q zutreffen, vorliegen kann.

Johnston-Diagramme sind somit eine Abbildung der klassischen Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre, wobei die Negation als Komplementbildung, die Konjunktion als Schnitt und die Disjunktion als Vereinigung dargestellt werden. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden auf die Allmenge beziehungsweise auf die leere Menge abgebildet.