Einfache Kontinuumshypothese

Die sogenannte einfache Kontinuumshypothese CH (englisch continuum hypothesis) besagt:

Es gibt keine überabzählbare Menge reeller Zahlen, deren Mächtigkeit kleiner ist als die der Menge aller reellen Zahlen.

Anders ausgedrückt:

Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.

Oder:

Jede unendliche Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist entweder gleichmächtig zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder zu ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (in dieser Form von Kurt Gödel und Cohen verwendet).

Bezeichnet man, wie üblich, die Kardinalzahl (Mächtigkeit) der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (siehe Aleph-Funktion), die darauffolgende Kardinalzahl mit ${\displaystyle \aleph _{1}}$ und die Kardinalzahl der reellen Zahlen mit ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, so heißt die Kontinuumshypothese formal:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$.

Weiter kann man zeigen, dass die Mächtigkeit des Kontinuums mit der mit ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ bezeichneten Mächtigkeit der Potenzmenge von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ übereinstimmt. Eine häufig anzutreffende Formulierung der Kontinuumshypothese lautet daher

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$.

Verallgemeinerte Kontinuumshypothese

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH, englisch generalized continuum hypothesis) besagt, dass für jede unendliche Menge ${\displaystyle X}$ Folgendes gilt:

Ist ${\displaystyle Y}$ eine Obermenge von ${\displaystyle X}$, die zu einer Teilmenge der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ von ${\displaystyle X}$ gleichmächtig ist, so ist ${\displaystyle Y}$ zu ${\displaystyle X}$ oder zu ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ gleichmächtig.

Hat man auch das Auswahlaxiom zur Verfügung, so hat jede Menge eine Kardinalzahl als Mächtigkeit, und die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt, dass für jede unendliche Menge ${\displaystyle X}$ gilt:

Zwischen den Kardinalzahlen ${\displaystyle |X|}$ und ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|}$ liegt keine weitere Kardinalzahl.

Verwendet man die Aleph-Notation, so bedeutet dies:

Für jede Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha }$ gilt ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$.

Mittels der Beth-Funktion lässt sich das noch kompakter schreiben:

Für jede Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha }$ gilt ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$.

Da die erste Formulierung kein Auswahlaxiom verwendet, sind die nachfolgenden scheinbar schwächer. Tatsächlich folgt in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) aus der zuerst genannten Formulierung der verallgemeinerten Kontinuumshypothese nach einem Satz von Sierpiński das Auswahlaxiom. Daher sind die gegebenen Formulierungen vor dem Hintergrund der ZF-Mengenlehre äquivalent.

Beispiel aus der Maßtheorie

Im Folgenden sei die Kontinuumshypothese (und das Auswahlaxiom) als wahr angenommen und es wird mit ihrer Hilfe eine nicht messbare Teilmenge der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ konstruiert. Man beachte, dass dies auch ohne Kontinuumshypothese (aber mit Auswahlaxiom) möglich ist.

Sei ${\displaystyle \omega _{1}}$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl. Nach der Kontinuumshypothese gibt es dann eine Bijektion ${\displaystyle T\colon [0,1]\to \omega _{1}}$. Die ordinale Ordnung ${\displaystyle <}$ auf ${\displaystyle \omega _{1}}$ werde mit Hilfe dieser Bijektion auf ${\displaystyle [0,1]}$ übertragen: Für ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gelte: ${\displaystyle x\prec y:\Leftrightarrow T(x)<T(y)}$.

Es sei ${\displaystyle A:=\{(x,y)\in [0,1]\times [0,1]\mid x\prec y\}}$. Mit ${\displaystyle 1_{A}}$ bezeichnen wir die Indikatorfunktion der Menge ${\displaystyle A}$, also ${\displaystyle 1_{A}\colon [0,1]\times [0,1]\to \{0,1\}}$ mit ${\displaystyle 1_{A}(x,y)=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\prec y}$.

Für jedes ${\displaystyle y\in [0,1]}$ sei ${\displaystyle A_{y}:=\{x\in [0,1]\mid x\prec y\}}$. Diese Menge ist für jedes ${\displaystyle y}$ abzählbar, da ${\displaystyle T(y)}$ als abzählbare Ordinalzahl nur abzählbar viele Vorgänger hat. Insbesondere ist daher ${\displaystyle A_{y}}$ immer eine Lebesgue-Nullmenge: ${\displaystyle \lambda (A_{y})=0}$.

Weiter definieren wir für jedes ${\displaystyle x\in [0,1]}$ die Menge ${\displaystyle A^{x}:=\{y\in [0,1]\mid x\prec y\}}$; das Komplement jeder dieser Mengen ist abzählbar, somit gilt ${\displaystyle \lambda (A^{x})=1}$.

Nimmt man an, dass ${\displaystyle 1_{A}}$ messbar ist, so gilt unter Verwendung des Lebesgue-Integrals und des Lebesgue-Maßes ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\lambda ({A_{y}})\,\mathrm {d} y=0,}$

aber

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\lambda ({A^{x}})\,\mathrm {d} x=1.}$

Die Funktion ${\displaystyle 1_{A}}$ ist also eine Funktion, die nach dem Satz von Tonelli nicht Lebesgue-messbar sein kann, die Menge ${\displaystyle A}$ ist damit auch nicht messbar.

Beispiel aus der Funktionentheorie

Wir betrachten Familien ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ganzer Funktionen, also solcher Funktionen ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, die sich auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ durch eine konvergente Potenzreihe darstellen lassen. Mit Hilfe des Identitätssatzes kann man folgende Aussage zeigen:

(1): Ist die Menge der Werte ${\displaystyle \{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ endlich, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ endlich.

Man beachte, dass in der Wertemenge die Funktion ${\displaystyle f}$ variiert und der Punkt ${\displaystyle z}$ fest ist, die Wertemenge und auch die Anzahl ihrer Elemente hängt von ${\displaystyle z}$ ab. Wir stellen nun die Frage, ob diese Aussage richtig bleibt, wenn wir „endlich“ durch „abzählbar“ ersetzen und fragen also nach der Gültigkeit von

(2): Ist die Menge der Werte ${\displaystyle \{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ abzählbar, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ abzählbar.

Paul Erdős fand folgende überraschende Antwort:

Die Aussage (2) ist genau dann für jede Familie ganzer Funktionen wahr, wenn die Kontinuumshypothese (CH) falsch ist.

Beispiel aus der Geometrie

Waclaw Sierpinski zeigte die Äquivalenz der Kontinuumshypothese zu Sätzen der elementaren Geometrie:

• Es gibt eine Zerlegung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=A\cup B\cup C}$, wobei ${\displaystyle A,B,C}$ jeweils endliche Schnittmengen mit jeder Parallelen zu den Koordinatenachsen ${\displaystyle x,y}$ bzw. ${\displaystyle z}$ haben – also ${\displaystyle A}$ mit Parallelen zur ${\displaystyle x}$-Achse, ${\displaystyle B}$ mit denen zur ${\displaystyle y}$-Achse und ${\displaystyle C}$ mit denen zur ${\displaystyle z}$-Achse (Sierpinski 1952).
• Es gibt eine Zerlegung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in zwei Mengen ${\displaystyle A,B}$, wobei ${\displaystyle A}$ die Vertikalen (die Parallelen zur ${\displaystyle y}$-Achse) und ${\displaystyle B}$ die Horizontalen (die Parallelen zur ${\displaystyle x}$-Achse) in höchstens abzählbar unendlich vielen Punkten schneidet (Sierpinski 1919). Oder in der Formulierung von Sierpinski in seinem Buch über die Kontinuumshypothese: Die Kontinuumhypothese ist äquivalent zu dem Satz Die Menge der Punkte der Ebene ist die Summe zweier Mengen ${\displaystyle A,B}$, wobei ${\displaystyle A}$ höchstens durch die Menge der Ordinaten und ${\displaystyle B}$ durch die der Abszissen abgezählt werden kann.