Herleitung

Die Herleitung der Vis-Viva-Gleichung folgt dem Energie- und Drehimpulserhaltungssatz. Beim Zweikörperproblem der Gravitation zweier Körper mit den Massen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle M}$ im Abstand ${\displaystyle r}$ ist die Gesamtenergie durch

${\displaystyle E_{\text{ges}}={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu v^{2}-G{\frac {mM}{r}}}$

gegeben, wobei ${\displaystyle v_{s}}$ die Geschwindigkeit des Schwerpunkts beschreibt und ${\displaystyle \mu }$ die reduzierte Masse des Systems ist, definiert durch

${\displaystyle \mu ={\frac {mM}{m+M}}}$.

Ist einer der beiden Körper deutlich schwerer als der andere, gilt also ${\displaystyle M\gg m}$, dann ist ${\displaystyle \mu \approx m}$.

Das Geschwindigkeitsquadrat schreiben wir in Polarkoordinaten ${\displaystyle (r,\varphi )}$:

${\displaystyle v^{2}={\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}}$,

wobei ${\displaystyle {\dot {r}}}$ die Geschwindigkeit in radialer Richtung zum Schwerpunkt bezeichnet. Aufgrund der Drehimpulserhaltung beim Zweikörperproblem

${\displaystyle L=\mu r^{2}{\dot {\varphi }}={\text{konstant}}\qquad \Rightarrow \qquad {\dot {\varphi }}={\frac {L}{\mu r^{2}}}\qquad {\text{und damit}}\qquad v^{2}={\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{\mu ^{2}r^{2}}},}$

kann die Gesamtenergie mit dem Betrag des Drehimpulses ${\displaystyle L}$ in

${\displaystyle E_{\text{ges}}={\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+{\frac {1}{2}}\mu {\dot {r}}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-G{\frac {mM}{r}}=:{\frac {1}{2}}(m+M)v_{s}^{2}+E}$

umgeformt werden. Im Schwerpunktssystem ist ${\displaystyle v_{s}=0}$.

Aus dem Energieerhaltungssatz folgt für zwei beliebige Abstände ${\displaystyle r_{1}}$ und ${\displaystyle r_{2}}$ im Schwerpunktssystem:

${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}_{1}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r_{1}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{1}}}={\frac {\mu }{2}}{\dot {r}}_{2}^{2}+{\frac {L^{2}}{2\mu r_{2}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{2}}}}$

An den beiden Punkten, die auf einer Keplerbahn dem Zentralkörper am nächsten und entferntesten sind, der Periapsis ${\displaystyle r_{P}}$ und der Apoapsis ${\displaystyle r_{A}}$, verschwindet die radiale Komponente der Geschwindigkeit und es gilt somit

${\displaystyle {\frac {L^{2}}{2\mu r_{P}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{P}}}={\frac {L^{2}}{2\mu r_{A}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{A}}}\qquad {\text{oder}}\qquad {\frac {L^{2}}{2\mu }}\left({\frac {1}{r_{P}^{2}}}-{\frac {1}{r_{A}^{2}}}\right)=GmM\left({\frac {1}{r_{P}}}-{\frac {1}{r_{A}}}\right)}$

Daraus ergibt sich das Quadrat des Drehimpulses zu

${\displaystyle L^{2}=2\mu GmM\left({\frac {r_{A}r_{P}}{r_{A}+r_{P}}}\right)}$

und die Energie zu

${\displaystyle E={\frac {L^{2}}{2\mu r_{P}^{2}}}-G{\frac {mM}{r_{P}}}=GmM\left({\frac {r_{A}}{r_{P}(r_{A}+r_{P})}}-{\frac {1}{r_{P}}}\right)=-G{\frac {mM}{r_{A}+r_{P}}}}$

Aus der Geometrie der Kegelschnitte folgt mit ${\displaystyle \textstyle a={\frac {r_{P}+r_{A}}{2}}}$

${\displaystyle E=-G{\frac {Mm}{2a}}}$.

Aus dieser Gleichung folgt mit der Definition der Energie ${\displaystyle E}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu v^{2}-G{\frac {mM}{r}}=-G{\frac {mM}{2a}}\qquad \Rightarrow \qquad v^{2}=2G{\frac {mM}{\mu r}}-G{\frac {mM}{\mu a}}=G(m+M)\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

mit ${\displaystyle mM/\mu =m+M}$.

Kosmische Geschwindigkeiten

Ist ${\displaystyle a=r}$ für alle ${\displaystyle r}$, entartet die Kepler-Bahn zu einer Kreisbahn; der Körper besitzt überall den gleichen Abstand ${\displaystyle r}$ vom Schwerpunkt und entsprechend überall dieselbe Geschwindigkeit

${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {G(m+M)}{r}}}}$,

die Kreisbahngeschwindigkeit oder erste kosmische Geschwindigkeit.

Damit ein Körper den Einfluss des Zentralgestirns überwinden kann, muss die große Halbachse unendlich groß werden, es gilt also mit ${\displaystyle a\to \infty }$:

${\displaystyle v_{2}={\sqrt {\frac {2G(m+M)}{r}}}=v_{1}\cdot {\sqrt {2}}}$

Diese Geschwindigkeit heißt Fluchtgeschwindigkeit oder zweite kosmische Geschwindigkeit. Die Umlaufbahn des Körpers ist dann nicht mehr geschlossen, sondern offen. Ist die Umlaufgeschwindigkeit des Körpers dabei genau gleich ${\displaystyle v_{2}}$, ist die Umlaufbahn eine Parabel, bei größeren Umlaufgeschwindigkeiten dagegen (bei ansonsten gleichbleibendem Abstand ${\displaystyle r}$) eine Hyperbel und die große Halbachse ${\displaystyle a}$ wird (formell) negativ.