AE als Längeneinheit

Die Umlaufzeiten der Planeten sind leicht zu beobachten und waren schon frühen Astronomen sehr genau bekannt. Mit Hilfe des Dritten Keplerschen Gesetzes ließ sich aus dem Verhältnis der Umlaufzeiten zweier Planeten mit praktisch derselben Genauigkeit auf das Verhältnis ihrer Bahnradien schließen. Die damaligen Ephemeriden konnten daher mit hoher Genauigkeit berechnen, wievielmal z. B. Mars zu einem gegebenen Zeitpunkt weiter von der Sonne entfernt war als die Erde. Man wählte die große Halbachse der Erdbahn als Längenmaß, nannte sie „Astronomische Einheit“ und konnte anstelle der umständlichen Ausdrucksweise „Mars ist heute 1,438 mal so weit von der Sonne entfernt wie die große Halbachse der Erdbahn lang ist“ gleichbedeutend einfach sagen „Mars ist heute 1,438 AE von der Sonne entfernt“. Die in dieser Form als AE ausgedrückten Entfernungen (eigentlich die Verhältnisse zweier Entfernungen zueinander) waren recht genau bestimmbar, in irdischen Längenmaßen wie z. B. Meilen oder Metern waren die Entfernungen jedoch nur recht ungenau bekannt. Für wissenschaftliche Zwecke bot sich daher die Verwendung der AE als Längeneinheit an, wofür sie jedoch einer hinreichend genauen Definition bedurfte.

Erste Definition

Gemäß dem Dritten Keplerschen Gesetz gilt für die Umlaufdauer ${\displaystyle U_{\mathrm {P} }}$ eines Planeten der Masse ${\displaystyle M_{\mathrm {P} }}$, welcher die Sonne (Masse ${\displaystyle M_{\odot }}$) auf einer Bahn mit der großen Halbachse ${\displaystyle a_{\mathrm {P} }}$ umläuft:

${\displaystyle {\frac {U_{\mathrm {P} }^{2}}{a_{\mathrm {P} }^{3}}}={\frac {4\,\pi ^{2}}{G\cdot (M_{\odot }+M_{\mathrm {P} })}}}$

(1)

Für zwei Planeten P1 und P2 folgt daraus:

${\displaystyle {\frac {U_{\mathrm {P1} }^{2}}{U_{\mathrm {P2} }^{2}}}\cdot {\frac {M_{\odot }+M_{\mathrm {P1} }}{M_{\odot }+M_{\mathrm {P2} }}}={\frac {a_{\mathrm {P1} }^{3}}{a_{\mathrm {P2} }^{3}}}}$

(2)

Dieses Gesetz enthält nur Verhältnisse der Umlaufzeiten, der Massen und der großen Halbachsen. Das Zweite Keplersche Gesetz enthält in ähnlicher Weise nur eine Aussage über die Verhältnisse der vom Fahrstrahl in bestimmten Zeitintervallen überstrichenen Flächen. Diese Gesetze liefern die Positionen der Planeten daher zunächst in einem noch unbestimmten Maßstab. Man kann deshalb die Einheiten der vorkommenden Längen, Zeitintervalle und Massen so wählen, dass sie die Rechnungen möglichst einfach gestalten. In der klassischen Astronomie wählte man üblicherweise als astronomische Längeneinheit die Länge der großen Halbachse der Erdbahn (1 AE), als astronomische Masseneinheit die Masse der Sonne 1 M_☉ und als astronomische Zeiteinheit den Tag 1 d.

Da die Positionen der Himmelskörper an der scheinbaren Himmelskugel (also die Richtungswinkel, unter denen sie dem Beobachter erscheinen) von absoluten Maßstäben unabhängig sind, konnten die Astronomen mit diesen relativen Maßstäben bereits hochpräzise Positionsastronomie betreiben. Die Entfernung eines Planeten konnte außerdem für einen gewünschten Zeitpunkt mit hoher Genauigkeit in Astronomischen Einheiten angegeben werden, die Entfernung in Metern hingegen weit weniger genau, da die Länge der Astronomischen Einheit in Metern nur mäßig genau bekannt war. Ähnlich konnten die Massen der Planeten recht genau in Sonnenmassen angegeben werden, deutlich weniger genau in Kilogramm.

Erst in den letzten Jahrzehnten wurde es möglich, Entfernungen mit hoher Genauigkeit zu messen (z. B. mittels Laser-Entfernungsmessung zum Mond, mittels Radar-Entfernungsmessung zu Merkur, Venus und Mars, oder mittels Messung der Signallaufzeiten zu Raumsonden).

Gaußsche Gravitationskonstante

Der Zahlenwert der Gravitationskonstanten ${\displaystyle G}$ in der Gleichung  (1) hängt von der Wahl der Einheiten für die vorkommenden physikalischen Größen ab. Für die Umlaufdauer des Planeten ${\displaystyle P}$ folgt aus jener Gleichung durch Umstellen:

${\displaystyle U_{\mathrm {P} }={\frac {2\pi \cdot a_{\mathrm {P} }^{3/2}}{{\sqrt {G}}\cdot {\sqrt {M_{\odot }(1+{\frac {M_{\mathrm {P} }}{M_{\odot }}})}}}}}$

(3)

Mit den Abkürzungen

${\displaystyle k:={\sqrt {G}}}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {P} }:={\frac {M_{\mathrm {P} }}{M_{\odot }}}}$

(4)

ergibt sich:

${\displaystyle U_{\mathrm {P} }={\frac {2\pi \cdot a_{\mathrm {P} }^{3/2}}{k\cdot {\sqrt {M_{\odot }(1+\mu _{\mathrm {P} })}}}}}$

(5)

C. F. Gauß bestimmte 1809 den Wert der Gravitationskonstanten ${\displaystyle k}$ in astronomischen Maßeinheiten (große Halbachse der Erdbahn als Längeneinheit AE, mittlerer Sonnentag als Zeiteinheit d, Sonnenmasse als Masseneinheit ${\displaystyle M_{\odot }}$), indem er die Formel auf die Erde ${\displaystyle E}$ als Planet ${\displaystyle P}$ anwandte

${\displaystyle a_{\mathrm {P} }=a_{\mathrm {E} }=1\ \mathrm {AE} }$

(6)

${\displaystyle M_{\odot }=1\;\mathrm {M_{\odot }} }$

(7)

und die damals besten Zahlenwerte für ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ einsetzte:

${\displaystyle U_{\mathrm {P} }=U_{\mathrm {E} }=365{,}256\,383\,5\;\mathrm {d} }$

(8)

(siderisches Jahr)

${\displaystyle \mu _{\mathrm {P} }=\mu _{\mathrm {E} }={\frac {1}{354\,710}}=0{,}000\,002\,819\,2}$

(9)

${\displaystyle k={\frac {2\pi \cdot a_{\mathrm {E} }^{3/2}}{U_{\mathrm {E} }\cdot {\sqrt {\mathrm {M_{\odot }} \left(1+\mu _{\mathrm {E} }\right)}}}}=0{,}017\,202\,098\,95\ {\frac {\mathrm {AE} ^{3/2}}{\mathrm {d} \,{\sqrt {\mathrm {M_{\odot }} }}}}}$

(10)

Dieser Zahlenwert der Gravitationskonstanten in astronomischen Maßeinheiten wurde in der Folge als Standardwert für zahlreiche astronomische Berechnungen verwendet.

Definition von 1976

Mit stets verbesserter Kenntnis von ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ hätte der Zahlenwert von ${\displaystyle k}$ ständig verbessert werden können. Der gaußsche Wert lag jedoch bald zahlreichen fundamentalen Tabellen zugrunde, welche bei jeder Veränderung von ${\displaystyle k}$ hätten neu berechnet werden müssen. Eine Alternative bestand darin, in der Gleichung

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }={\frac {2\pi \cdot a_{\mathrm {E} }^{3/2}}{k\cdot {\sqrt {1+\mu _{\mathrm {E} }}}}}}$

(11)

den Zahlenwert von ${\displaystyle k}$ beizubehalten und stattdessen die Längeneinheit, in der ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$ gemessen wird, so anzupassen, dass der in der neuen Längeneinheit gemessene neue Zahlenwert von ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$ die Gleichung für die neuen Werte von ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ wieder erfüllt (ein Beispiel folgt im nächsten Abschnitt). Die große Halbachse ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$ der Erdbahn verlor damit ihren definierenden Status: Sie hatte in astronomischen Maßeinheiten nicht mehr strikt die Länge 1 AE. Die Längeneinheit, bezüglich welcher ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$ den die Gleichung erfüllenden Zahlenwert annahm, war die neue AE. Damit lautete die Definition von 1976:

Da die Definition der AE damit aber ohnehin nicht mehr unmittelbar durch die Erdbahn gegeben war, lösten sich die Astronomen von der Erdmasse ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ und bezogen die neue Definition auf einen fiktiven Körper ${\displaystyle f}$ mit vernachlässigbar kleiner Masse:

${\displaystyle \mu _{\mathrm {f} }\,\rightarrow \,0}$

(12)

Denkt man sich einen solchen fiktiven Körper auf einer ungestörten Bahn, welche dem Gesetz  (1) gehorcht und deren große Halbachse gleich der zu bestimmenden neuen Längeneinheit ist

${\displaystyle a_{\mathrm {f} }=1\,\mathrm {AE} }$

(13)

so gilt für ihn

${\displaystyle U_{\mathrm {f} }={\frac {2\pi \cdot 1^{3/2}}{k\cdot {\sqrt {1+0}}}}={\frac {2\pi }{k}}}$

(14)

Dieser definierende Körper hat also eine Umlaufdauer von

${\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}=365{,}256\,898\,326\dots }$ Tagen

(15)

(sogen. Gaußsches Jahr)

Die fiktive Bahn lässt sich ohne Beschränkung der Allgemeingültigkeit als kreisförmig annehmen. Die Definition der AE lässt sich daher gleichbedeutend formulieren als

Die Praxis, den Zahlenwert von ${\displaystyle k}$ festzuhalten und durch ihn die AE zu definieren, war inoffiziell seit dem 19. Jahrhundert üblich. Sie wurde 1938 offiziell von der IAU übernommen, als sie auf der 6. Generalversammlung den gaußschen Zahlenwert für ${\displaystyle k}$ per Resolution festschrieb. 1976 erfolgte auf der 28. Generalversammlung erstmals eine explizite textliche Definition.

Erdbahn und AE

Für die Umlaufzeiten der Erde ${\displaystyle E}$ und des definierenden fiktiven Körpers ${\displaystyle f}$ liefert das Dritte Keplergesetz  (2):

${\displaystyle {\frac {U_{\mathrm {E} }^{2}}{U_{\mathrm {f} }^{2}}}\cdot {\frac {M_{\odot }+M_{\mathrm {E} }}{M_{\odot }+0}}={\frac {a_{\mathrm {E} }^{3}}{a_{\mathrm {f} }^{3}}}={\frac {a_{\mathrm {E} }^{3}}{1\,\mathrm {AE} ^{3}}}}$

(21)

Auflösen nach ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$ und Einsetzen der aktuellen Zahlenwerte

${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }={\frac {1}{328\,900{,}561\,400}}}$

(22)

und

${\displaystyle U_{\mathrm {E} }=365{,}256\,363\,\mathrm {d} }$

(23)

ergibt

${\displaystyle a_{\mathrm {E} }={\sqrt[{3}]{{\frac {U_{\mathrm {E} }^{2}}{(2\pi /k)^{2}}}\cdot (1+\mu _{\mathrm {E} })}}=1{,}000\,000\,036\,\mathrm {AE} }$

(24)

Aus dem Verhältnis der Umlaufzeiten beider Körper folgt also das Verhältnis ihrer großen Halbachsen  (21). Die eine davon definiert aber gerade die Astronomische Einheit; das Ergebnis ist also die in AE ausgedrückte große Halbachse der Erdbahn, welche nun etwas größer ist als 1 AE.

Setzt man diese neuen Zahlenwerte für ${\displaystyle a_{\mathrm {E} }}$, ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ anstelle der alten gaußschen Werte in die gaußsche Formel  (10) ein, so erhält man nach wie vor den gaußschen Zahlenwert für ${\displaystyle k}$. Wenn der in Tagen gemessenen Umlaufzeit der genannte Zahlenwert ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und der in Sonnenmassen gemessenen Erdmasse der genannte Zahlenwert ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ beigelegt werden, dann sind die Voraussetzungen der IAU-Definition also erfüllt, wenn die in AE gemessene große Halbachse der Erdbahn den Zahlenwert 1,000 000 036 erhält. Jene Längeneinheit, in der die große Halbachse gemessen werden muss, um diesen Zahlenwert anzunehmen, ist die mit den aktuellen Werten von ${\displaystyle U_{\mathrm {E} }}$ und ${\displaystyle \mu _{\mathrm {E} }}$ kompatible aktuelle AE. Gelingt es, die Länge der großen Halbachse in Metern zu ermitteln, so ist über diesen Zusammenhang die Länge der AE in Metern bekannt.

Heliozentrische Gravitationskonstante

Rechnet man Umlaufzeit ${\displaystyle U_{\mathrm {f} }}$ und große Halbachse ${\displaystyle a_{\mathrm {f} }=1\,\mathrm {AE} }$ des fiktiven masselosen Körpers von astronomischen Maßeinheiten wieder nach SI-Einheiten um

${\displaystyle 1\,\mathrm {d} =86400\ \mathrm {s} }$,

(31)

${\displaystyle 1\,\mathrm {AE} =L\ \mathrm {m} }$

(32)

und setzt das Ergebnis in Gleichung  (1) ein, so ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {(U_{\mathrm {f} }\cdot 86400\,\mathrm {\frac {s}{d}} )^{2}}{(1\,\mathrm {AE} \cdot L\,\mathrm {\frac {m}{AE}} )^{3}}}={\frac {4\,\pi ^{2}}{G\cdot M_{\odot }}}}$

(33)

wobei ${\displaystyle L}$ der noch zu bestimmende Umrechnungsfaktor von Astronomischen Einheiten in Meter ist. Einsetzen von

${\displaystyle U_{\mathrm {f} }={\frac {2\pi }{k}}}$

(34)

und Auflösen nach ${\displaystyle GM_{\odot }}$ liefert:

${\displaystyle GM_{\odot }=k^{2}\cdot {\frac {(L\,\mathrm {\frac {m}{AE}} )^{3}}{(86400\,\mathrm {\frac {s}{d}} )^{2}}}}$

(35)

(Die heliozentrische Gravitationskonstante GM_☉ ist das Produkt aus der newtonschen Gravitationskonstanten G und der Sonnenmasse M_☉. Sie lässt sich aus der Vermessung der Planetenbahnen ableiten und ist mit wesentlich höherer Genauigkeit bekannt als ihre beiden Einzelfaktoren.)

Die eben genannte Formel stellt nichts anderes dar als die Umrechnung von k² (in astronomischen Maßeinheiten) nach G bzw. GM_☉ (in SI-Einheiten). In astronomischen Maßeinheiten hat k stets denselben von der Definition der AE festgelegten Zahlenwert. In SI-Einheiten hängt der Zahlenwert von GM_☉ ab von dem jeweils aktuellen durch Beobachtung bestimmten Zahlenwert für die Länge L der Astronomischen Einheit.

Nicht vorgesehen ist in der 1976er Definition eine eventuelle physikalisch reale Veränderlichkeit von GM_☉, etwa durch eine kosmologische Veränderlichkeit von G oder den Masseverlust der Sonne. Sollte es infolge gesteigerter Messgenauigkeit notwendig werden, ein zeitlich veränderliches GM_☉ zu beschreiben, so könnte dies (da k ja laut Definition auf seinem gegebenen Zahlenwert fixiert ist) nur durch die sehr unbefriedigende Verwendung einer zeitlich veränderlichen AE geschehen.

Die Neudefinition der AE von 2012 entkoppelt GM_☉ und AE und eröffnet so den Weg zur direkten Messung von GM_☉ (und seiner eventuellen Veränderlichkeit) in SI-Einheiten. Der Umweg über die AE ist nicht mehr nötig. Eine Änderung des Zahlenwertes L der AE infolge einer Neubestimmung hat keine Änderung des Zahlenwertes von GM_☉ mehr zur Folge.

Messung

Um die Länge der AE in Metern zu ermitteln, war es notwendig, die in AE bekannten Entfernungen zu den Planeten oder zur Sonne in Metern zu messen. Dies konnte bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts nur durch Triangulationen mit optischen Mitteln geschehen. Die AE wurde hauptsächlich aus hochgenauen Winkelmessungen (Parallaxen) abgeleitet, die von möglichst weit voneinander entfernten Sternwarten aus zu den Planeten Venus und Mars sowie zu erdnahen Asteroiden durchgeführt wurden. Ein kurzer Überblick über diese Bestimmungen der AE bis ins frühe 20. Jahrhundert findet sich im →Artikel Venustransit.

Seit einigen Jahrzehnten können Entfernungen im Sonnensystem direkt gemessen werden. Der moderne Wert der AE wurde mittels Radar- und anderen Distanzmessungen von der Erde zu den Nachbarplaneten und zu Raumsonden bestimmt. Aus der Vermessung der „mittleren Bewegungen“ (d. h. der mittleren Geschwindigkeiten) oder der Umlaufperioden der Planeten, welche sich sehr genau bestimmen lassen, folgen über das Dritte Keplergesetz (in der newtonschen Fassung inklusive relativistischer Korrekturen) mit derselben Genauigkeit die großen Halbachsen der Planeten in AE. Die Abstandsmessungen zu den Planeten mittels Radar bestimmen deren Bahngeometrie und damit die großen Halbachsen ihrer Bahnen in Metern; das Verhältnis zur Länge der großen Halbachsen in AE liefert die Länge der AE in Metern sowie den Zahlenwert von GM_☉ in m³/s².

Die folgende Tabelle listet unter anderem einige moderne Ephemeriden auf, die durch Anpassung der physikalischen Bewegungsgleichungen an umfangreiches Beobachtungsmaterial gewonnen wurden. Jede solche Anpassung liefert unter anderem wie eben beschrieben einen Zahlenwert für den Skalenfaktor des Sonnensystems, welcher die Länge der AE in Metern angibt (die jeweils genannten Unsicherheiten sind in der Regel formale Unsicherheiten, die im Zuge der Anpassung aus der Konsistenz der Messdaten untereinander abgeschätzt werden und die meist zu optimistisch ausfallen. Ein realistischeres Bild der Unsicherheiten gewinnt man durch Vergleich der Ergebnisse untereinander):

Die Ephemeride DE405 des JPL liegt derzeit zahlreichen Jahrbüchern und sonstigen Ephemeridenwerken zugrunde. Der aus ihr abgeleitete Zahlenwert von 149 597 870 691 m für die AE war daher für mehrere Jahre der gebräuchlichste Standardwert. Er wurde vom IERS empfohlen.

Streng genommen ist der genannte Zahlenwert nicht der SI-Wert, da den Berechnungen der Planetenbewegungen die auf den Schwerpunkt des Sonnensystems bezogene Zeitskala TDB zugrunde gelegt wird, während die SI-Sekunde sich definitionsgemäß auf die Erdoberfläche (genauer: das Geoid) bezieht und aus relativistischen Gründen etwas schneller läuft. Rechnet man den TDB-Wert auf strikte SI-Einheiten um, so ergibt sich:

Die 27. Generalversammlung der Internationalen Astronomischen Union beschloss im Jahre 2009, im Rahmen des „IAU 2009 System of Astronomical Constants“ den aus damaligen besten Messungen abgeleiteten Mittelwert von 149 597 870 700 m ± 3 m zur allgemeinen Verwendung zu empfehlen.

Die 28. Generalversammlung der Internationalen Astronomischen Union beschloss im Jahre 2012, von der bisherigen Definition abzugehen (nach welcher die Länge der Astronomischen Einheit in Metern stets das Ergebnis einer Messung gewesen war) und die Astronomische Einheit einfach als eine Strecke der Länge 149 597 870 700 m (exakt) neu zu definieren.