Verbände als algebraische Strukturen

Ein Verband ${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$ ist eine Menge ${\displaystyle V}$ mit zwei inneren binären Verknüpfungen ${\displaystyle \vee }$ (Vereinigung, engl. join) und ${\displaystyle \wedge }$ (Durchschnitt, engl. meet), die folgenden Bedingungen für alle ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, ${\displaystyle w}$ aus ${\displaystyle V}$ genügen:

Assoziativgesetze:

• ${\displaystyle u\vee (v\vee w)=(u\vee v)\vee w}$,
• ${\displaystyle u\wedge (v\wedge w)=(u\wedge v)\wedge w}$.

Kommutativgesetze:

• ${\displaystyle u\vee v=v\vee u}$,
• ${\displaystyle u\wedge v=v\wedge u}$.

Absorptionsgesetze:

• ${\displaystyle u\vee (u\wedge v)=u}$,
• ${\displaystyle u\wedge (u\vee v)=u}$.

Aus diesen Bedingungen folgt die Idempotenz beider Verknüpfungen:

• ${\displaystyle u\vee u=u}$,
• ${\displaystyle u\wedge u=u}$.

${\displaystyle V}$ ist also bezüglich jeder einzelnen Verknüpfung ein Halbverband, d. h. eine kommutative Halbgruppe, in der jedes Element idempotent ist. Die Verknüpfungen treten bei den Absorptionsgesetzen in Wechselwirkung.

Verbände als Ordnungsstrukturen

Man kann nach einer Idee von Leibniz auf ${\displaystyle V}$ eine Halbordnung definieren durch:

${\displaystyle v\leq w\quad \iff \quad v\wedge w=v.}$

Mit dem Absorptionsgesetz erkennt man die Gültigkeit der Äquivalenzen

${\displaystyle v\leq w\quad \iff \quad v\wedge w=v\quad \iff \quad v\vee w=w.}$

Bezüglich dieser Halbordnung hat jede zweielementige Teilmenge ${\displaystyle \{v,w\}}$ ein Supremum (obere Grenze) ${\displaystyle s=v\vee w}$ und ein Infimum (untere Grenze) ${\displaystyle i=v\wedge w}$. Dabei ist ein Element ${\displaystyle s}$ ein Supremum von ${\displaystyle \{v,w\}}$, wenn gilt:

• ${\displaystyle v\leq s}$ und ${\displaystyle w\leq s}$ (d. h. ${\displaystyle s}$ ist obere Schranke).
• Aus ${\displaystyle v\leq t}$ und ${\displaystyle w\leq t}$ folgt ${\displaystyle s\leq t}$ (d. h. ${\displaystyle s}$ ist die kleinste obere Schranke).

Analoges gilt für das Infimum ${\displaystyle i}$. Man kann per Induktion zeigen, dass jede nichtleere endliche Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat. Man schreibt allgemein das Supremum einer Menge ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle \bigvee M}$, und das Infimum von ${\displaystyle M}$ als ${\displaystyle \bigwedge M}$, falls diese existieren.

Umgekehrt kann man für eine halbgeordnete Menge, bei der jede zweielementige Teilmenge ein Infimum und ein Supremum hat, definieren:

${\displaystyle v\wedge w=\inf\{v,w\}}$   und   ${\displaystyle v\vee w=\sup\{v,w\}}$.

Die beiden Verknüpfungen erfüllen dann die Verbandsaxiome, wie man leicht nachrechnet.

Hasse-Diagramme für einige Beispiele

Eine endliche halbgeordnete Menge ${\displaystyle (M,{\leq })}$ kann man durch einen gerichteten Graphen darstellen, den man Hasse-Diagramm nennt.

Wenn man den Graph so anordnet, dass alle Kanten von unten nach oben gerichtet sind, dann kann man die Ordnung leicht sehen:

${\displaystyle a<b}$ ist dann gleichwertig mit: ${\displaystyle a}$ ist durch einen (nach oben führenden) Kantenzug mit ${\displaystyle b}$ verbunden.

Neutrale Elemente

Falls die Verknüpfung ${\displaystyle \vee }$ ein neutrales Element ${\displaystyle 0}$ hat,

${\displaystyle 0\vee a=a,}$

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es das Nullelement des Verbandes. Bzgl. ${\displaystyle \wedge }$ ist ${\displaystyle 0}$ absorbierend und bzgl. der Ordnung das kleinste Element:

${\displaystyle 0\wedge a=0}$ und ${\displaystyle 0=}$ ${\displaystyle \bigwedge V.}$

Man nennt den Verband dann nach unten beschränkt.

Falls die Verknüpfung ${\displaystyle \wedge }$ ein neutrales Element ${\displaystyle 1}$ hat,

${\displaystyle 1\wedge a=a,}$

dann ist es eindeutig bestimmt und man nennt es das Einselement des Verbandes. Bzgl. ${\displaystyle \vee }$ ist ${\displaystyle 1}$ absorbierend und bzgl. der Ordnung das größte Element:

${\displaystyle 1\vee a=1}$ und ${\displaystyle 1=}$ ${\displaystyle \bigvee V.}$

Man nennt den Verband dann nach oben beschränkt.

Ein Verband heißt beschränkt, wenn er nach unten und nach oben beschränkt ist, also für beide Verknüpfungen ein neutrales Element hat.

Komplementäre Elemente

Für ein gegebenes Element ${\displaystyle a}$ eines beschränkten Verbandes nennt man ein Element ${\displaystyle b}$ mit der Eigenschaft

• ${\displaystyle a\wedge b=0}$ und ${\displaystyle a\vee b=1}$

ein Komplement von ${\displaystyle a}$.

Ein beschränkter Verband, in dem jedes Element (mindestens) ein Komplement hat, heißt komplementärer Verband.

Im Allgemeinen kann es zu einem Element mehrere komplementäre Elemente geben.

Es gilt aber: In einem distributiven beschränkten Verband ist das Komplement eines Elements ${\displaystyle a}$ im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Man schreibt es oft als ${\displaystyle a^{c}}$ (vor allem bei Teilmengenverbänden), ${\displaystyle \neg a}$ (vor allem bei Anwendungen in der Logik) oder ${\displaystyle {\bar {a}}}$.

In jedem beschränkten Verband gilt

• ${\displaystyle \neg 0=1,\neg 1=0}$.

In einem distributiven beschränkten Verband gilt: Falls ${\displaystyle a}$ ein Komplement ${\displaystyle \neg a}$ hat, dann hat auch ${\displaystyle \neg a}$ ein Komplement, nämlich:

• ${\displaystyle \neg (\neg a)=a}$.

Modulare Verbände

Ein Verband ${\displaystyle V}$ heißt modular, falls gilt:

• ${\displaystyle u\leq w\Longrightarrow u\vee (v\wedge w)=(u\vee v)\wedge w}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Für einen Verband ${\displaystyle V}$ sind wiederum jeweils äquivalent:

• ${\displaystyle V}$ ist modular.
• ${\displaystyle u\geq w\Longrightarrow u\wedge (v\vee w)=(u\wedge v)\vee w}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$.
• ${\displaystyle u\vee (v\wedge (u\vee w))=(u\vee v)\wedge (u\vee w)}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$.
• ${\displaystyle u\wedge (v\vee (u\wedge w))=(u\wedge v)\vee (u\wedge w)}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Ein nicht modularer Verband enthält immer den Verband ${\displaystyle N_{5}}$ als Unterverband.

Distributive Verbände

Im Folgenden meinen wir mit dem Verband ${\displaystyle V}$ stets den Verband ${\displaystyle (V,\vee ,\wedge )}$.

Ein Verband ${\displaystyle V}$ heißt distributiv, wenn die Verknüpfungen in doppelter Hinsicht distributiv sind:

• ${\displaystyle u\vee (v\wedge w)=(u\vee v)\wedge (u\vee w)}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$ und
• ${\displaystyle u\wedge (v\vee w)=(u\wedge v)\vee (u\wedge w)}$ für alle ${\displaystyle u,v,w\in V}$.

Da diese beiden Aussagen zueinander äquivalent sind, genügt es, die Gültigkeit eines dieser beiden Distributivgesetze zu verlangen.

Jeder distributive Verband ist modular, aber nicht umgekehrt. Ein modularer Verband, der nicht distributiv ist, enthält immer den Verband ${\displaystyle M_{3}}$, den Verband der Untergruppen der Kleinschen Vierergruppe als Unterverband.

Dies ergibt den Test: hat ein Verband weder einen Unterverband der Form ${\displaystyle N_{5}}$ noch einen der Form ${\displaystyle M_{3}}$, dann ist er distributiv.

Distributive Verbände sind auch anders zu charakterisieren, denn Birkhoff (1933) und Stone (1936) haben gezeigt:

Ein Verband ist genau dann distributiv, wenn er isomorph zu einem Mengenverband ist.

Boolesche Algebren

Ein distributiver komplementärer Verband heißt Boolesche Algebra oder Boolescher Verband.

Eine weitere Verallgemeinerung, bei der statt Komplementen nur relative Pseudokomplemente gefordert werden, heißt Heyting-Algebra.

Vollständige Verbände

Ein Verband ${\displaystyle V}$ heißt vollständig, wenn jede (auch die leere ebenso wie gegebenenfalls unendliche) Teilmenge ein Supremum und ein Infimum hat.

Es genügt, für jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ die Existenz des Supremums zu verlangen, denn es ist

• ${\displaystyle \bigwedge M=}$ ${\displaystyle \bigvee \{x\in V:(\forall \,y\in M:x\leq y)\}.}$

Jeder vollständige Verband ${\displaystyle V}$ ist beschränkt mit

• ${\displaystyle 0=\bigwedge V=\bigvee \emptyset }$   und   ${\displaystyle 1=\bigvee V=\bigwedge \emptyset .}$

Jeder endliche, nichtleere Verband ${\displaystyle V}$ ist vollständig, also auch beschränkt.

Längenendliche Verbände

Wenn jede bezüglich der Ordnung totalgeordnete Teilmenge (Kette) endlich ist, nennt man den Verband längenendlich. Für viele Beweise innerhalb der Verbandstheorie muss ein Verband nicht endlich sein, sondern es reicht, wenn er längenendlich ist.

Kompakte Elemente und algebraische Verbände

Man nennt ein Element ${\displaystyle a}$ eines vollständigen Verbandes ${\displaystyle V}$ kompakt (nach der verwandten Eigenschaft kompakter Räume in der Topologie), wenn jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle V}$ mit

• ${\displaystyle a\leq \bigvee M}$

eine endliche Teilmenge ${\displaystyle E}$ enthält, für die gilt:

• ${\displaystyle a\leq \bigvee E}$

Ein Verband ${\displaystyle V}$ heißt algebraisch, wenn er vollständig ist und wenn jedes Element von ${\displaystyle V}$ das Supremum von kompakten Elementen ist.

Unterverbände

Ein Unterverband von ${\displaystyle V}$ ist eine Teilmenge ${\displaystyle U}$, die mit den eingeschränkten Verknüpfungen von ${\displaystyle V}$ ein Verband ist, d. h. es liegen

• ${\displaystyle a\vee b}$ und ${\displaystyle a\wedge b}$ in ${\displaystyle U}$ für alle ${\displaystyle a,b}$ aus ${\displaystyle U.}$

Teilverbände

Ein Teilverband von ${\displaystyle V}$ ist eine Teilmenge ${\displaystyle U}$, die ein Verband ist, d. h. ${\displaystyle U}$ ist eine halbgeordnete Menge mit Supremum und Infimum für endliche Teilmengen.

Natürlich ist jeder Unterverband ein Teilverband, aber nicht umgekehrt.

Hier ist eine der wenigen Stellen, wo man den Unterschied in der Betrachtungsweise merkt: Für Verbände als Ordnungsstrukturen sind alle Teilverbände Unterstrukturen, für Verbände als algebraische Strukturen sind nur die Unterverbände Unterstrukturen.

Man geht weder bei Teilverbänden noch bei Unterverbänden davon aus, dass die neutralen Elemente in der Unterstruktur erhalten bleiben. Sonst muss man ausdrücklich von einem Verband mit ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$ reden.

Ideale und Filter

Ein Ideal ${\displaystyle I}$ ist ein Unterverband eines Verbandes ${\displaystyle V}$, der zusätzlich folgende Bedingung erfüllt: sind ${\displaystyle a\in I}$ und ${\displaystyle x\in V}$, dann ist ${\displaystyle a\wedge x\in I}$. (Die Definition entspricht also formal der Definition, die man in einem Ring erwartet).

Bezüglich der Halbordnung auf ${\displaystyle V}$ gilt aber ${\displaystyle a\wedge x\leq a}$. Daher kann man die Definition auch so interpretieren:

Ein Ideal ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element ${\displaystyle a}$ auch alle Elemente von ${\displaystyle V}$ enthält, die kleiner als ${\displaystyle a}$ sind.

Filter werden dual zu Idealen definiert:

Ein Filter ist ein Unterverband, der zusammen mit einem Element ${\displaystyle a}$ auch alle Elemente von ${\displaystyle V}$ enthält, die größer als ${\displaystyle a}$ sind.

Total geordnete Mengen

Jede total geordnete Menge ${\displaystyle M}$ ist ein distributiver Verband mit den Verknüpfungen Maximum und Minimum. Insbesondere gilt für alle ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ aus ${\displaystyle M}$:

• ${\displaystyle \max(a,\min(b,c))=\min(\max(a,b),\max(a,c))}$,
• ${\displaystyle \min(a,\max(b,c))=\max(\min(a,b),\min(a,c))}$.

Nur im Fall einer ein- oder zweielementigen Menge ${\displaystyle M}$ ist der Verband komplementär.

Beispiele für die übrigen Eigenschaften:

• Das abgeschlossene reelle Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ und die erweiterte reelle Gerade (${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \infty }$ und ${\displaystyle -\infty }$) sind jeweils vollständige distributive Verbände (und damit beschränkt).
• Das offene reelle Intervall ${\displaystyle (0,1)}$, die Mengen ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ und ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ sind jeweils unvollständige unbeschränkte distributive Verbände.
• Das rationale Intervall ${\displaystyle [0,1]\cap \mathbb {Q} }$ ist ein unvollständiger beschränkter distributiver Verband.
• Die Menge ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ist ein unvollständiger distributiver Verband mit Nullelement ${\displaystyle 0}$.

Teilerverbände

Betrachtet man für eine natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ die Menge ${\displaystyle T}$ aller Teiler von ${\displaystyle n}$, dann ist ${\displaystyle (T,\operatorname {ggT} ,\operatorname {kgV} )}$ ein vollständiger distributiver Verband mit Einselement ${\displaystyle n}$ (neutralem Element für ggT) und Nullelement ${\displaystyle 1}$ (neutralem Element für kgV). Er heißt Teilerverband von ${\displaystyle n}$. Die Absorptionsgesetze und Distributivgesetze für ggT und kgV folgen dabei z. B. mit der Primfaktorzerlegung aus den Eigenschaften von max und min, man kann sie aber auch durch Teilbarkeitsbetrachtungen herleiten. Der Verband ist genau dann komplementär (und damit boolesch), wenn ${\displaystyle n}$ quadratfrei ist, d. h. wenn ${\displaystyle n}$ keine Quadratzahl ${\displaystyle \neq 1}$ als Teiler hat. Die Halbordnung auf ${\displaystyle T}$ ist die Teiler-Relation:

• ${\displaystyle a\leq b}$ genau dann, wenn ${\displaystyle a|b}$ (genau dann, wenn ${\displaystyle \operatorname {ggT} (a,b)=a}$).

Teilmengenverbände

Für eine Menge ${\displaystyle M}$ bildet die Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ mit den Verknüpfungen Vereinigung ${\displaystyle \cup }$ und Durchschnitt ${\displaystyle \cap }$ einen algebraischen booleschen Verband mit Nullelement ${\displaystyle \emptyset }$ (neutrales Element bezüglich ${\displaystyle \cup }$) und Einselement ${\displaystyle M}$ (neutrales Element bezüglich ${\displaystyle \cap }$) sowie Komplement ${\displaystyle A^{c}=M\setminus A}$ für alle ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(M)}$. Er heißt Potenzmengen- oder Teilmengenverband von ${\displaystyle M}$. Die Halbordnung auf ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(M),\cup ,\cap )}$ ist die Mengeninklusion:

• ${\displaystyle A\leq B,}$ falls ${\displaystyle A\subseteq B}$ (oder äquivalent dazu ${\displaystyle A\cap B=A}$)

(Trägermengen von) Unterverbände(n) von ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(M),\cup ,\cap )}$ heißen Mengenverbände (zwischen den Verbänden und ihren Trägermengen wird oft nicht unterschieden). Diese Verbände sind immer distributiv, müssen jedoch weder vollständig sein, noch neutrale Elemente oder Komplemente haben. (Ein Beispiel dafür ist der Verband der rechts-unendlichen reellen Intervalle ${\displaystyle [a,\infty )}$ mit ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle \mathbb {R} }$, der isomorph zum Verband der reellen Zahlen ist.)

Unterstrukturenverbände von algebraischen Strukturen, Untergruppenverbände

Für eine Gruppe ${\displaystyle (G,{\ast })}$ bildet die Menge ${\displaystyle A}$ aller Untergruppen von ${\displaystyle G}$ einen algebraischen (im Allgemeinen nicht modularen und damit auch nicht distributiven) Verband mit den Verknüpfungen Erzeugnis der Vereinigung und Durchschnitt. Er heißt Untergruppenverband von ${\displaystyle G}$.

Beispielsweise ist der Untergruppenverband der kleinschen Vierergruppe, der gerade dem Verband ${\displaystyle M_{3}}$ entspricht, nicht-distributiv, aber modular.

Ebenso bilden

• die normalen Untergruppen einer Gruppe,
• die Untergruppen einer abelschen Gruppe,
• die Unterringe eines Ringes,
• die Unterkörper eines Körpers,
• die Untermoduln eines Moduls,
• die Ideale eines Ringes

mit analogen Verknüpfungen einen modularen algebraischen Verband. Die Untergruppen einer beliebigen Gruppe und die Unterverbände eines beliebigen Verbands ergeben zwar immer einen algebraischen Verband, dieser muss aber nicht modular sein.

Ganz allgemein bilden die Unterstrukturen einer algebraischen Struktur stets einen algebraischen Verband (wobei auch die leere Menge als Unterstruktur betrachtet wird, falls der mengentheoretische Durchschnitt – also das Infimum bezüglich der Mengeninklusion – von der Menge aller Unterstrukturen leer ist).

Insbesondere ist ein Verband genau dann algebraisch, wenn er isomorph ist zum Verband der Unterstrukturen einer algebraischen Struktur (daher auch der Name algebraischer Verband).

Schränkt man die Menge der Untergruppen auf Obergruppen einer festen Untergruppe ${\displaystyle U}$ ein, so bilden alle diese Zwischengruppen ${\displaystyle \{V\colon U\leq V\leq G\}}$ auch einen beschränkten Verband. Analog dazu gibt es Verbände von Zwischenringen, Zwischenkörpern, Zwischenmoduln, Zwischenidealen.

Besonderes Interesse hat man am Untergruppenverband der Galoisgruppe einer galoisschen Körpererweiterung ${\displaystyle L/K}$, denn er ist isomorph zum dualen Zwischenkörperverband von ${\displaystyle L/K}$.