In der Mathematik ist eine boolesche Algebra (oder ein boolescher Verband) eine spezielle algebraische Struktur, die die Eigenschaften der logischen Operatoren UND, ODER, NICHT sowie die Eigenschaften der mengentheoretischen Verknüpfungen Durchschnitt, Vereinigung, Komplement verallgemeinert. Gleichwertig zu booleschen Algebren sind boolesche Ringe, die von UND und ENTWEDER-ODER (exklusiv-ODER) beziehungsweise Durchschnitt und symmetrischer Differenz ausgehen.

Die boolesche Algebra ist die Grundlage bei der Entwicklung von digitaler Elektronik und wird dort als Schaltalgebra, etwa bei der Erstellung von Schaltnetzen, angewandt. Sie wird in allen modernen Programmiersprachen zur Verfügung gestellt und ist auch in der Satztheorie und Statistik vertreten.

Operatoren

${\displaystyle \wedge }$	UND
${\displaystyle \lor }$	ODER
${\displaystyle \neg }$	NICHT

Geschichte

Die boolesche Algebra ist nach George Boole benannt, da sie auf dessen Logikkalkül von 1847 zurückgeht, in dem er erstmals algebraische Methoden in der Klassenlogik und Aussagenlogik anwandte. Ihre heutige Form verdankt sie der Weiterentwicklung durch Mathematiker wie John Venn, William Stanley Jevons, Charles Peirce, Ernst Schröder und Giuseppe Peano. In Booles originaler Algebra entspricht die Multiplikation dem UND, die Addition dagegen weder dem exklusiven ENTWEDER-ODER noch dem inklusiven ODER („mindestens eines von beiden ist wahr“). Die genannten Boole-Nachfolger gingen dagegen vom inklusiven ODER aus: Schröder entwickelte 1877 das erste formale Axiomensystem einer booleschen Algebra in additiver Schreibweise. Peano brachte dessen System 1888 in die heutige Form (siehe unten) und führte dabei die Symbole ${\displaystyle \cap }$ und ${\displaystyle \cup }$ ein. Das aussagenlogische ODER-Zeichen ${\displaystyle \lor }$ stammt von Russell 1906; Arend Heyting führte 1930 die Symbole ${\displaystyle \wedge }$ und ${\displaystyle \neg }$ ein.

Den Namen boolesche Algebra (englisch boolean algebra) prägte Henry Maurice Sheffer erst 1913. Das exklusive ENTWEDER-ODER, das Booles originaler Algebra näher kommt, legte erst Ivan Ivanovich Žegalkin 1927 dem booleschen Ring zugrunde, dem Marshall Harvey Stone 1936 den Namen gab.

Definition

Das redundante Axiomensystem von Peano (mit zusätzlichen ableitbaren Axiomen) charakterisiert eine boolesche Algebra als Menge mit Nullelement 0 und Einselement 1, auf der die zweistelligen Verknüpfungen ${\displaystyle \wedge }$ und ${\displaystyle \lor }$ und eine einstellige Verknüpfung ${\displaystyle \neg }$ definiert sind, durch folgende Axiome (originale Nummerierung von Peano):

Kommutativgesetze	(1)	${\displaystyle a\land b=b\land a}$	(1’)	${\displaystyle a\lor b=b\lor a}$
Assoziativgesetze	(2)	${\displaystyle (a\land b)\land c=a\land (b\land c)}$	(2’)	${\displaystyle (a\lor b)\lor c=a\lor (b\lor c)}$
Idempotenzgesetze	(3)	${\displaystyle a\land a=a}$	(3’)	${\displaystyle a\lor a=a}$
Distributivgesetze	(4)	${\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}$	(4’)	${\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)}$
Neutralitätsgesetze	(5)	${\displaystyle a\land 1=a}$	(5’)	${\displaystyle a\lor 0=a}$
Extremalgesetze	(6)	${\displaystyle a\land 0=0}$	(6’)	${\displaystyle a\lor 1=1}$
Doppelnegationsgesetz (Involution)	(7)	${\displaystyle \neg (\neg a)=a}$
De Morgansche Gesetze	(8)	${\displaystyle \neg (a\land b)=\neg a\lor \neg b}$	(8’)	${\displaystyle \neg (a\lor b)=\neg a\land \neg b}$
Komplementärgesetze	(9)	${\displaystyle a\land \neg a=0}$	(9’)	${\displaystyle a\lor \neg a=1}$
Dualitätsgesetze	(10)	${\displaystyle \neg 0=1}$	(10’)	${\displaystyle \neg 1=0}$
Absorptionsgesetze	(11)	${\displaystyle a\lor (a\land b)=a}$	(11’)	${\displaystyle a\land (a\lor b)=a}$

Jede Formel in einer booleschen Algebra hat eine duale Formel, die durch Ersetzung von 0 durch 1 und ${\displaystyle \wedge }$ durch ${\displaystyle \lor }$ und umgekehrt entsteht. Ist die eine Formel gültig, dann ist es auch ihre duale Formel, wie im Peano-Axiomensystem jeweils (n) und (n').

Die Komplemente haben nichts mit inversen Elementen zu tun, denn die Verknüpfung eines Elementes mit seinem Komplement liefert das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung.

Schreibweise

Die Operatoren boolescher Algebren werden verschiedenartig notiert. Bei der logischen Interpretation als Konjunktion, Disjunktion und Negation schreibt man sie als ${\displaystyle \wedge }$, ${\displaystyle \lor }$ und ${\displaystyle \neg }$ und verbalisiert sie als UND, ODER, NICHT bzw. AND, OR, NOT. Bei der mengentheoretischen Interpretation als Durchschnitt, Vereinigung und Komplement werden sie als ${\displaystyle \cap }$, ${\displaystyle \cup }$ und ${\displaystyle ^{\complement }}$ (${\displaystyle A^{\complement }}$) geschrieben. Zur Betonung der Abstraktion in der allgemeinen booleschen Algebra werden auch Symbolpaare wie ${\displaystyle \sqcap }$, ${\displaystyle \sqcup }$ oder ${\displaystyle \ast }$, ${\displaystyle \circ }$ benutzt.

Mathematiker schreiben gelegentlich „·“ für UND und „+“ für ODER (wegen ihrer entfernten Ähnlichkeit zur Multiplikation und Addition anderer algebraischer Strukturen) und stellen NICHT mit einem Überstrich, einer Tilde ~, oder einem nachgestellten Prime-Zeichen dar. Diese Notation ist auch in der Schaltalgebra zur Beschreibung der booleschen Funktion digitaler Schaltungen üblich; dort benutzt man oft die definierbaren Verknüpfungen NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) und XOR (EXCLUSIVE OR).

In diesem Artikel werden die Operatorsymbole ${\displaystyle \wedge }$, ${\displaystyle \lor }$ und ${\displaystyle \neg }$ verwendet.

Beispiele

Zweielementige boolesche Algebra

Die wichtigste boolesche Algebra hat nur die zwei Elemente 0 und 1. Die Verknüpfungen sind wie folgt definiert:

Konjunktion (UND) ${\displaystyle \wedge }$ 0 1 0 0 0 1 0 1

Disjunktion (ODER) ${\displaystyle \lor }$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Negation (NICHT)   ${\displaystyle \neg }$ 0 1 1 0

Diese Algebra hat Anwendungen in der Aussagenlogik, wobei 0 als „falsch“ und 1 als „wahr“ interpretiert werden. Die Verknüpfungen ${\displaystyle {\land },{\lor },{\neg }}$ entsprechen den logischen Verknüpfungen UND, ODER, NICHT. Ausdrücke in dieser Algebra heißen boolesche Ausdrücke.

Auch für digitale Schaltungen wird diese Algebra verwendet und als Schaltalgebra bezeichnet. Hier entsprechen 0 und 1 zwei Spannungszuständen in der Schalterfunktion von AUS und AN. Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten jeder möglichen digitalen Schaltung kann durch einen booleschen Ausdruck modelliert werden.

Die zweielementige boolesche Algebra ist auch wichtig für die Theorie allgemeiner boolescher Algebren, da jede Gleichung, in der nur Variablen, 0 und 1 durch ${\displaystyle {\land },}$ ${\displaystyle \lor }$ und ${\displaystyle \neg }$ verknüpft sind, genau dann in einer beliebigen booleschen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist, wenn sie in der zweielementigen Algebra für jede Variablenbelegung erfüllt ist (was man einfach durchtesten kann). Zum Beispiel gelten die folgenden beiden Aussagen (Konsensusregeln, engl.: Consensus Theorems) über jede boolesche Algebra:

${\displaystyle (a\lor b)\land (\neg a\lor c)\land (b\lor c)=(a\lor b)\land (\neg a\lor c)}$

${\displaystyle (a\land b)\lor (\neg a\land c)\lor (b\land c)=(a\land b)\lor (\neg a\land c)}$

In der Aussagenlogik nennt man diese Regeln Resolutionsregeln.

Homomorphismen

Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren ${\displaystyle A,B}$ ist ein Verbandshomomorphismus ${\displaystyle f\colon A\to B}$, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d. h., für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ gilt:

• ${\displaystyle f(x\land y)=f(x)\land f(y)}$
• ${\displaystyle f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)}$
• ${\displaystyle f(0)=0,\quad f(1)=1}$

Es folgt daraus, dass ${\displaystyle f(\neg a)=\neg f(a)}$ für alle a aus A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie. Ist ein Homomorphismus f zusätzlich bijektiv, dann heißt ${\displaystyle f}$ Isomorphismus, und ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ heißen isomorph.

Boolesche Ringe

Eine andere Sichtweise auf boolesche Algebren besteht in sogenannten booleschen Ringen: Das sind Ringe mit Einselement, die zusätzlich idempotent sind, also das Idempotenzgesetz ${\displaystyle a\cdot a=a}$ erfüllen. Jeder idempotente Ring ist kommutativ. Die Addition im booleschen Ring entspricht bei der mengentheoretischen Interpretation der symmetrischen Differenz und bei aussagenlogischer Interpretation der Alternative ENTWEDER-ODER (exclusiv-ODER, XOR); die Multiplikation entspricht der Durchschnittsbildung beziehungsweise der Konjunktion UND.

Boolesche Ringe sind stets selbstinvers, d. h. es gilt ${\displaystyle \,a+a=0}$ und folglich für das additive Inverse ${\displaystyle \,-a=a}$. Wegen dieser Eigenschaft besitzen sie auch, falls 1 und 0 verschieden sind, stets die Charakteristik 2. Der kleinste solche boolesche Ring ist zugleich ein Körper mit folgenden Verknüpfungstafeln:

${\displaystyle \cdot }$ 0 1 0 0 0 1 0 1		${\displaystyle +}$ 0 1 0 0 1 1 1 0

Der Potenzreihen-Ring modulo ${\displaystyle \,x\cdot x+x}$ über diesem Körper ist ebenfalls ein boolescher Ring, denn ${\displaystyle \,x\cdot x+x}$ wird mit ${\displaystyle \,0}$ identifiziert und liefert die Idempotenz. Diese Algebra benutzte bereits Žegalkin 1927 als Variante der originalen Algebra von Boole, der den Körper der reellen Zahlen zugrunde legte, welcher noch keinen booleschen Ring ergibt.

Jeder boolesche Ring ${\displaystyle (R,{+},{-},{\cdot },1,0)}$ entspricht einer booleschen Algebra ${\displaystyle (R,{\land },{\lor },{\neg },1,0)}$ durch folgende Definitionen:

${\displaystyle x\lor y=x+y+xy}$

${\displaystyle x\land y=xy}$

${\displaystyle \neg x=x+1}$

Umgekehrt wird jede boolesche Algebra ${\displaystyle (A,{\land },{\lor },{\neg },1,0)}$ zu einem booleschen Ring ${\displaystyle (A,{+},{-},{\cdot },1,0)}$ durch folgende Definitionen:

${\displaystyle a+b=(a\land \neg b)\lor (b\land \neg a)}$

${\displaystyle \,-a=a}$

${\displaystyle a\cdot b=a\land b}$

Ferner ist eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\to B}$ genau dann ein Homomorphismus boolescher Algebren, wenn sie ein Ringhomomorphismus (mit Erhaltung der Eins) boolescher Ringe ist.

Darstellungssatz von Stone

Für jeden topologischen Raum ist die Menge aller abgeschlossenen offenen Teilmengen eine boolesche Algebra mit Durchschnitt und Vereinigung. Der Darstellungssatz von Stone, bewiesen von Marshall Harvey Stone, besagt, dass umgekehrt für jede boolesche Algebra ein topologischer Raum (genauer ein Stone-Raum, das heißt ein total unzusammenhängender, kompakter Hausdorffraum) existiert, in dem sie als dessen boolesche Algebra abgeschlossener offener Mengen realisiert wird. Der Satz liefert sogar eine kontravariante Äquivalenz zwischen der Kategorie der Stone-Räume mit stetigen Abbildungen und der Kategorie der booleschen Algebren mit ihren Homomorphismen (die Kontravarianz erklärt sich dadurch, dass sich für ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ stetig die boolesche Algebra der abgeschlossenen offenen Mengen in ${\displaystyle X}$ durch Urbildbildung aus der von ${\displaystyle Y}$ ergibt, nicht umgekehrt durch Bildung des Bildes).

Siehe auch

• Bitweiser Operator
• Boolesche Funktion
• Boolescher Differentialkalkül
• Boolescher Operator
• Boolesches Retrieval
• Halbring
• Heyting-Algebra
• Logikgatter
• Logische Verknüpfung
• Relationsalgebra

Literatur

• Marshall Harvey Stone: The Theory of Representations for Boolean Algebras. In: Transactions of the American Mathematical Society. 40, 1936, ISSN 0002-9947, S. 37–111.
• D. A. Vladimirov: Boolesche Algebren (= Mathematische Lehrbücher und Monographien. Abteilung 2: Mathematische Monographien. Bd. 29, ISSN 0076-5430). In deutscher Sprache herausgegeben von G. Eisenreich. Akademie-Verlag, Berlin 1972.

Weblinks

• J. Donald Monk: The Mathematics of Boolean Algebra. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Online-Rechner zum Vereinfachen von Ausdrücken mit den Axiomen der booleschen Algebra.

Einzelnachweise

1. ↑ Givant, Steven; Halmos, Paul (2009). Introduction to Boolean Algebras. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer. ISBN 978-0-387-40293-2
2. ↑ Ernst Schröder: Der Operationskreis des Logikkalkuls. Leipzig 1877.
3. 1 2 Giuseppe Peano: Calcolo geometrico. Bocca, Torino, 1888. Auszug in: G. Peano: Opere scelte II, Rom 1958, S. 3–19, dort S. 5f das Axiomensystem.
4. ↑ Bertrand Russell: The Theory of Implication. In: American Journal of Mathematics. Baltimore 28.1906, S. 159–202. ISSN 0002-9327