Die Ward-Takahashi-Identität, benannt nach dem britischen Physiker John Clive Ward und dem japanischen Physiker Yasushi Takahashi, ist eine Relation zwischen Korrelationsfunktionen in der Quantenelektrodynamik. Ihre allgemeine Form erhielten sie 1957 durch Takahashi; der Spezialfall der Ward-Identität war bereits 1950 durch Ward aufgestellt worden.

Der Fall nichtabelscher Eichtheorien ist verwickelter, hier hat man die Slawnow-Taylor-Identitäten.

Allgemein

Die Ward-Takahashi-Identität lässt sich aus den Dyson-Schwinger-Gleichungen herleiten und lautet:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{\mu }M^{\mu }\left(k;p_{1},\dots ,p_{n};q_{1},\dots ,q_{n}\right)=&\ e\sum M_{0}\left(p_{1},\dots ,p_{n};q_{1},\dots ,q_{i}-k,\dots ,q_{n}\right)\\&-e\sum M_{0}\left(p_{1},\dots ,p_{i}+k,\dots ,p_{n};q_{1},\dots ,q_{n}\right)\end{aligned}}}$

Dabei ist

• ${\displaystyle M^{\mu }}$ die Fourier-Transformierte einer Korrelationsfunktion, die den Dirac-Strom enthält:

${\displaystyle M^{\mu }(k;p;q)=\int \mathrm {d} ^{4}z\prod _{i,j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{i}\mathrm {d} ^{4}y_{j}e^{-\mathrm {i} (zk+\sum y_{j}p_{j}-x_{i}q_{i})}\left\langle \Omega \left|Tj^{\mu }(z)\prod \Psi (x_{i}){\bar {\Psi }}(y_{j})\right|\Omega \right\rangle }$

• ${\displaystyle M_{0}}$ die Korrelationsfunktionen, in denen der Impuls des Dirac-Stroms zum Impuls eines ein- bzw. ausgehenden Fermions addiert/subtrahiert wurde:

${\displaystyle M_{0}(p;q)=\int \prod _{i,j=1}^{n}\mathrm {d} ^{4}x_{i}\mathrm {d} ^{4}y_{j}e^{-\mathrm {i} (\sum y_{j}p_{j}-x_{i}q_{i})}\left\langle \Omega \left|T\prod \Psi (x_{i}){\bar {\Psi }}(y_{j})\right|\Omega \right\rangle }$

Ward-Identität

Aus der Ward-Takahashi-Identität lässt sich der Spezialfall der Ward-Identität ableiten, wenn

• ${\displaystyle M^{\mu }}$ ein Matrixelement der Streumatrix ist sowie
• auf der rechten Seite alle ein- und auslaufenden Fermionen on shell sind, also real, beobachtbar und der Energie-Impuls-Relation gehorchend.

Dann heben sich die beiden Terme auf der rechten Seite der Identität unter Zuhilfenahme der LSZ-Reduktionsformel weg, und nur die linke Seite bleibt übrig:

${\displaystyle k_{\mu }M^{\mu }=0}$

Die Ward-Identität liefert einen wichtigen Beitrag zur Renormierung der Quantenelektrodynamik, da sie als symmetrieerhaltende Eigenschaft den Divergenzgrad von Photonenschleifen herabsetzt. Dies führt dazu, dass in der Quantenelektrodynamik kein Hierarchieproblem auftritt.

Einzelnachweise

1. ↑ Yasushi Takahashi, Nuovo Cimento, Ser 10, 6 (1957) 370.
2. ↑ J.C. Ward, Phys. Rev. 78, (1950) 182
3. ↑ Andrei Slavnov: Slavonov Taylor Identities, Scholarpedia