Herleitung des Radius der Erd-Kugel

Als Referenzsystem für Positionsangaben auf der Erde wird oft das World Geodetic System aus dem Jahre 1984 (WGS84) verwendet. Darin hat die Erde die Form eines abgeplatteten Rotations-Ellipsoids mit den beiden unterschiedlich langen Halbachsen

${\displaystyle a=6378{,}137000\,{\mbox{km}}}$

${\displaystyle b=6356{,}752314\,{\mbox{km}}}$

Die lange Halbachse a reicht vom Erdmittelpunkt bis zum Äquator, die kurze Halbachse b liegt auf der Rotationsachse der Erde und reicht vom Erdmittelpunkt bis zum Nordpol.

Da viele Berechnungen auf Ellipsoiden sehr aufwändig sind, kann zur Vereinfachung die Form der Erde durch eine Kugel angenähert werden. Zur Ermittlung des Radius R dieser Kugel-Näherung bieten sich zwei Vorgehensweisen an. Im ersten Fall fordert man, dass Rotations-Ellipsoid und Erd-Kugel gleich große Oberflächen haben, im zweiten Fall fordert man, dass beide gleich große Volumina haben.

Für die Oberfläche F und das Volumen V des WGS84-Ellipsoids gilt:

${\displaystyle \quad F=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}\cdot {\frac {\operatorname {artanh} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)\quad {\mbox{mit}}\quad \varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b}$

Mit den obigen Werten für die beiden Halbachsen ergibt sich daraus (auf 10 gültige Stellen gerundet):

${\displaystyle F=510\,065\,621{,}7\,{\mbox{km}}^{2}}$

${\displaystyle V=1\,083\,207\,320\,000\,{\mbox{km}}^{3}}$

Die Formeln für die Oberfläche F und das Volumen V einer Kugel lassen sich nach dem gesuchten Radius R umformen, so dass gilt:

${\displaystyle F=4\pi R^{2}\quad \Longrightarrow \quad R={\sqrt {F/(4\pi )}}=6371{,}007181\,{\mbox{km}}}$

${\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\quad \Longrightarrow \quad R={\sqrt[{3}]{3V/(4\pi )}}=6371{,}000790\,{\mbox{km}}}$

In beiden Fällen ergibt sich ein Radius R der Erd-Kugel von

${\displaystyle \left.R=6371{,}0\,{\mbox{km}}\right.}$

Einschätzung der Güte der Kugel-Näherung

Der Umfang des Äquators beim WGS84-Ellipsoid beträgt ${\displaystyle 2\pi \cdot a}$. Bei der Kugel-Näherung beträgt er ${\displaystyle 2\pi \cdot R}$. Daher kann das Verhältnis ${\displaystyle (2\pi \cdot R)/(2\pi \cdot a)=0{,}99888}$ als relative mittlere Genauigkeit der Kugel-Näherung am Äquator angesehen werden. Entlang des Äquators unterschätzt die Kugel-Näherung daher die wirkliche Entfernung im Mittel um 0,112 %.

Der Umfang eines Längengrades beim WGS84-Ellipsoid ist gleich demjenigen einer Ellipse mit den Halbachsen a und b. Der Umfang einer Ellipse lässt sich über folgende Formel näherungsweise bestimmen:

${\displaystyle U_{WGS84}\approx \pi (a+b)\left(1+{\frac {3\lambda ^{2}}{10+{\sqrt {4-3\lambda ^{2}}}}}\right)\quad$ ;\quad \lambda ={\frac {a-b}{a+b}}}

Die relative mittlere Genauigkeit der Kugel-Näherung entlang eines Längengrades beträgt daher ${\displaystyle (2\pi \cdot R)/U_{WGS84}=1{,}00056}$. Eine Entfernung entlang eines Längenkreises wird also bei der Kugel-Näherung um etwa 0,056 % überschätzt.

Daher liegt die relative Abweichung der Kugel-Näherung von dem zugrunde gelegten Rotations-Ellipsoid im Promille-Bereich und ist für die meisten Anwendungen vernachlässigbar.

Sinussatz

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}}$

Seiten-Kosinussatz

${\displaystyle \,\cos a=\cos b\cdot \cos c+\sin b\cdot \sin c\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle \,\cos b=\cos a\cdot \cos c+\sin a\cdot \sin c\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle \,\cos c=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\cdot \cos \gamma }$

Exakte Formeln

Nach dem Seiten-Kosinussatz gilt:

${\displaystyle \cos \left(90^{\circ }-\phi _{2}\right)=\cos \left(90^{\circ }-\phi _{1}\right)\cos d+\sin \left(90^{\circ }-\phi _{1}\right)\sin d\cos \alpha }$

Wegen ${\displaystyle \cos(90^{\circ }-x)=\sin(x)}$ und ${\displaystyle \sin(90^{\circ }-x)=\cos(x)}$ folgt daraus:

${\displaystyle \left.\sin \phi _{2}=\sin \phi _{1}\cos d+\cos \phi _{1}\sin d\cos \alpha \right.}$

Für die Bestimmung des Längengrades ${\displaystyle \lambda _{2}}$ des Zielpunktes B, liefert der Sinussatz die Änderung ${\displaystyle \Delta \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}}$ des Breitengrades:

${\displaystyle {\frac {\sin \Delta \lambda }{\sin d}}={\frac {\sin \alpha }{\sin \left(90^{\circ }-\phi _{2}\right)}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \phi _{2}}}}$

Mit der Umkehrfunktion ${\displaystyle \arcsin }$ folgt schließlich für die gesuchten Koordinaten des Zielpunktes:

${\displaystyle \phi _{2}=\arcsin \left(\sin \phi _{1}\cos d+\cos \phi _{1}\sin d\cos \alpha \right)\quad$ ;\quad \lambda _{2}=\lambda _{1}+\arcsin \left({\frac {\sin d}{\cos \phi _{2}}}\,\sin \alpha \right)}

Achtung: Bei diesen Formeln ist zu beachten, dass die arcsin-Funktion auf den Bereich von ${\displaystyle -90^{\circ }}$ bis ${\displaystyle +90^{\circ }}$ normiert. Die berechneten Werte müssen daher ggf. noch in einer Fallunterscheidung der tatsächlichen Lage der Punkte angepasst werden.

Näherungsformeln für kleine Entfernungen

Bei kurzen (viel weniger als 111 km) Entfernungen zwischen den Punkten A und B wird der Parameter d aus den oben hergeleiteten Formeln kleiner als 1 Grad. Entsprechend wird auch der Unterschied ${\displaystyle \Delta \phi$ :=\phi _{2}-\phi _{1}} zwischen dem Ziel-Breitengrad ${\displaystyle \phi _{2}}$ und dem Start-Breitengrad ${\displaystyle \phi _{1}}$ sehr klein. Daher lässt sich die oben hergeleitete (exakte) Beziehung

${\displaystyle \left.\sin \phi _{2}=\sin \phi _{1}\cos d+\cos \phi _{1}\sin d\cos \alpha \right.}$

mit folgender Taylor-Reihenentwicklung (bis zur 2-ten Ordnung)

${\displaystyle \sin \phi _{2}=\sin \left(\phi _{1}+\Delta \phi \right)\approx \sin \phi _{1}+\cos \phi _{1}\cdot \Delta \phi -{\frac {1}{2}}\sin \phi _{1}\cdot (\Delta \phi )^{2}}$

${\displaystyle \cos d\approx \underbrace {\cos 0} _{=1}-\underbrace {\sin 0} _{=0}\cdot d-{\frac {1}{2}}\underbrace {\cos 0} _{=1}\cdot d^{2}=1-{\frac {d^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \sin d\approx \underbrace {\sin 0} _{=0}+\underbrace {\cos 0} _{=1}\cdot d-{\frac {1}{2}}\underbrace {\sin 0} _{=0}\cdot d^{2}=d}$

wie folgt vereinfachen:

${\displaystyle \sin \phi _{1}+\cos \phi _{1}\cdot \Delta \phi -{\frac {1}{2}}\sin \phi _{1}\cdot (\Delta \phi )^{2}\approx \sin \phi _{1}\cdot \left(1-{\frac {d^{2}}{2}}\right)+\cos \phi _{1}\cdot d\cdot \cos \alpha }$

Auf beiden Seiten der Näherung wird zunächst ${\displaystyle \sin \,\phi _{1}}$ subtrahiert:

${\displaystyle \cos \phi _{1}\cdot \Delta \phi -{\frac {1}{2}}\sin \phi _{1}\cdot (\Delta \phi )^{2}\approx -\sin \phi _{1}\cdot {\frac {d^{2}}{2}}+\cos \phi _{1}\cdot d\cdot \cos \alpha }$

und anschließend werden beide Seiten durch ${\displaystyle \cos \,\phi _{1}}$ dividiert:

${\displaystyle \Delta \phi -{\frac {1}{2}}\tan \phi _{1}\cdot (\Delta \phi )^{2}\approx -\tan \phi _{1}\cdot {\frac {d^{2}}{2}}+d\cdot \cos \alpha }$

Schließlich kann die Tangens-Funktion noch auf der rechten Seite gesammelt werden:

${\displaystyle \Delta \phi \approx d\cdot \cos \alpha +\tan \phi _{1}\cdot {\frac {\left(\Delta \phi \right)^{2}-d^{2}}{2}}}$

Wegen ${\displaystyle d\ll 1^{\circ }}$ kann der Tangens-Term kann im Wesentlichen vernachlässigt werden:

${\displaystyle \Delta \phi \approx d\cdot \cos \alpha }$

Der Tangens-Term hat jedoch zwei wesentliche Konsequenzen für die Genauigkeit der Näherung für ${\displaystyle \Delta \,\phi }$:

• Bei kleinen Winkeln ${\displaystyle \phi _{1}}$, also nahe dem Äquator, ist ${\displaystyle \tan \,\phi _{1}}$ sehr klein. Daher ist auch der Tangens-Term sehr klein und das Ergebnis sehr genau. Mit zunehmendem Breitengrad ${\displaystyle \phi _{1}}$ wächst die Tangens-Funktion jedoch immer schneller, bis sie bei ${\displaystyle 90^{\circ }}$ unendlich groß wird. Daher nimmt die Genauigkeit des Näherungswertes ${\displaystyle \Delta \phi }$ mit zunehmendem Abstand vom Äquator ab.

• Selbst bei großem Tangens-Wert ist das Ergebnis der Näherung noch sehr genau, wenn ${\displaystyle \Delta \phi }$ und d in etwa gleich groß sind. Dies ist umso stärker der Fall, je paralleler die Strecke von A nach B zu einem Längengrad verläuft, das heißt, umso stärker der Peilwinkel ${\displaystyle \alpha }$ in die Richtung eines Pols zeigt (0 bzw. 180 Grad).

Mit anderen Worten, die Ungenauigkeit ist umso größer, je weiter man vom Äquator weg ist und je stärker die Peilung parallel zum Äquator erfolgt (Richtung Osten oder Westen)!

Es fehlt noch die Näherung zur Berechnung der Änderung des Längengrades ${\displaystyle \Delta \lambda }$. Ausgehend von der bereits oben hergeleiteten, exakten Beziehung für ${\displaystyle \Delta \lambda }$ werden wieder die Sinus-Funktionen mit sehr kleinen Argumenten angenähert:

${\displaystyle {\frac {\sin \Delta \lambda }{\sin d}}={\frac {\sin \alpha }{\cos \phi _{2}}}\rightarrow {\frac {\Delta \lambda }{d}}\approx {\frac {\sin \alpha }{\cos \left(\phi _{1}+\Delta \phi \right)}}}$

Die Multiplikation beider Seiten mit d ergibt schließlich:

${\displaystyle \Delta \lambda \approx {\frac {d}{\cos \left(\phi _{1}+\Delta \phi \right)}}\,\cdot \sin \alpha }$

Da diese Näherungsformeln nur für kurze Distanzen d gelten, werden sich die Koordinaten des Startpunktes ${\displaystyle A(\phi _{1},\lambda _{1})}$ nur um kleine Werte ${\displaystyle (\Delta \phi ,\Delta \lambda )}$ ändern. Daher bietet es sich an, die Näherungsformeln so zu formulieren, dass sie das Ergebnis direkt in Bogenminuten liefern. Dazu wird d in Bogenminuten konvertiert

${\displaystyle d={\frac {\overline {AB}}{R}}\,{\frac {180\cdot 60'}{\pi }}={\frac {\overline {AB}}{1853\,{\mbox{m}}}}\quad {\mbox{(in Bogenminuten)}}}$

und in die beiden Näherungsformeln eingesetzt:

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {\overline {AB}}{1853\,{\mbox{m}}}}\cdot \cos \alpha \quad$ ;\quad \Delta \lambda \approx {\frac {\overline {AB}}{1853\,{\mbox{m}}}}\cdot {\frac {\sin \alpha }{\cos \left(\phi _{1}+\Delta \phi \right)}}\quad {\mbox{(in Bogenminuten)}}}

Da zur Berechnung von ${\displaystyle \Delta \lambda }$ der Wert von ${\displaystyle \Delta \phi }$ offensichtlich bereits bekannt sein muss, lässt sich die Abschätzung für die Änderung des Längengrades noch kürzer schreiben:

${\displaystyle \Delta \lambda \approx \Delta \phi \cdot {\frac {\tan \alpha }{\cos \left(\phi _{1}+\Delta \phi \right)}}}$

Bemerkungen:

• Die Cosinus-Funktion im Nenner der Näherung von ${\displaystyle \Delta \lambda }$ trägt der Tatsache Rechnung, dass der Umfang des Breitenkreises um den Cosinus des entsprechenden Breitengrades ${\displaystyle (\phi _{1}+\Delta \phi )}$ verkürzt ist (Breitenkreise sind keine Großkreise).

• Die hergeleiteten Formeln gelten auch dann, wenn der Punkt A oder der Punkt B oder beide Punkte A, B auf der Südhalbkugel liegen. Der Abstand eines solchen Punktes vom Nordpol ist auf der Einheits-Kugel größer als ${\displaystyle 90^{\circ }}$. Da die Breitengrade vom Äquator zum Südpol jedoch mit negativen Gradzahlen gemessen werden, führt z. B. der Term ${\displaystyle (90^{\circ }-\phi _{1})}$ bei negativem ${\displaystyle \phi _{1}}$ zu einem Winkel größer als ${\displaystyle 90^{\circ }}$ vom Nordpol aus gemessen.

• Die gefundene Näherung ist in etwa gleich derjenigen, die sich bei einer ebenen Wegpunkt-Projektion ergibt. Der einzige, aber wichtige Unterschied ist, dass bei der Berechnung von ${\displaystyle \Delta \lambda }$ im Cosinus der Breitengrad des Zielpunktes eingesetzt wird, und nicht (wie bei der Ebene) der Breitengrad des Startpunktes. Die Abschätzung für ${\displaystyle \Delta \lambda }$ ist im hergeleiteten Fall auch bei großen Abständen (bis zu 70 Kilometer!) zwischen A und B genauer als ein Meter!

Güte der Näherungsformeln

Wie oben beschrieben ist die Abschätzung für die Änderung des Längengrades ${\displaystyle \Delta \lambda }$ bis zu einer Entfernung von 70 km genauer als ein Meter. Daher liegt quasi die gesamte Ungenauigkeit in der Berechnung der Änderung des Breitengrades ${\displaystyle \Delta \phi }$. Die folgende Tabelle zeigt, wie groß die Entfernung von A nach B in Metern abhängig vom Breitengrad maximal sein darf, damit das Ergebnis der einfachen Näherung für ${\displaystyle \Delta \phi }$ weniger als 1 Meter bzw. weniger als 5 Meter von der exakten Lösung abweicht. Angegeben sind jeweils die schlechtesten Werte, also der Fall, dass man sich parallel zum Äquator bewegt.

Hier einige Lesebeispiele:

• Beim 50-sten Breitengrad ist die Näherungsformel bis zu einer Entfernung von 3269 Metern genauer als 1 Meter.
• Beim 60-sten Breitengrad ist die Näherungsformel bis zu einer Entfernung von 6065 Metern genauer als 5 Meter.

Der nördlichste Punkt Deutschlands ist bekanntlich die Insel Sylt mit einem Breitengrad von 54,55°. Daher können die Näherungsformeln in Deutschland bis zu einer Entfernung von etwa 3 km ohne Bedenken genutzt werden, um sehr exakte Positionsbestimmungen vornehmen zu können.