Explizite Definition des Differentials

Sei ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$ eine Basis von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Seien ${\displaystyle c_{ij}^{k}}$ die Strukturkonstanten, also ${\displaystyle \left[e_{i},e_{j}\right]=c_{ij}^{k}e_{k}}$. Die Weil-Algebra ${\displaystyle W^{*}({\mathfrak {g}})}$ hat Erzeuger ${\displaystyle \theta _{1},\ldots ,\theta _{m}}$ vom Grad 1 und ${\displaystyle \mu _{1},\ldots ,\mu _{m}}$ vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch

${\displaystyle d(\theta _{i})=\mu _{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{j,k}c_{jk}^{i}\theta _{j}\theta _{k}}$

${\displaystyle d(\mu _{i})=-\sum _{jk}c_{jk}^{i}\theta _{j}\mu _{k}}$.

Die Kohomologie von ${\displaystyle (W({\mathfrak {g}}),d)}$ ist trivial (außer in Grad 0).

Konstruktion charakteristischer Klassen

Ein Zusammenhang ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$ auf einem ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle \pi \colon P\to M}$ induziert einen Homomorphismus

${\displaystyle f_{\omega }\colon \Omega ^{1}({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(P,\mathbb {R} )}$,

der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren

${\displaystyle f_{\omega }\colon W({\mathfrak {g}})\to \Omega ^{*}(P,\mathbb {R} )}$

fortsetzen lässt. Die ${\displaystyle G}$-invarianten Elemente von ${\displaystyle W^{2k}({\mathfrak {g}})}$ werden auf (das Urbild von) ${\displaystyle \Omega ^{2k}(M,\mathbb {R} )}$ abgebildet und definieren charakteristische Klassen in ${\displaystyle H_{dR}^{2k}(M;\mathbb {R} )}$. (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)