Grundbegriffe

Fixiere ein Schema ${\displaystyle S}$, ein Schema ${\displaystyle X}$ ausgestattet mit einem Morphismus ${\displaystyle f:X\to S}$ nennt man ein ${\displaystyle S}$-Schema. Alle Schemata über einem fixierten Schema ${\displaystyle S}$ bilden die Kategorie ${\displaystyle \mathbf {Sch/S} }$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ eine Kategorie, dann bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ ihre duale Kategorie.

Definition

Sei ${\displaystyle h:S'\to S}$ ein Morphismus von Schemata. Für ein ${\displaystyle S'}$-Schema ${\displaystyle X}$ betrachte den kontravarianten Funktor

${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X).}$

Falls der Funktor darstellbar ist, dann heißt das dazugehörige ${\displaystyle S}$-Schema, welches auch mit ${\displaystyle \operatorname {Res} _{S'/S}(X)}$ notiert wird, die Weil-Restriktion von ${\displaystyle X}$ bezüglich ${\displaystyle h}$.