Wellrad

Ein Wellrad ist eine einfache mechanische Maschine. Es gehört zu den Kraftwandlern. Wellräder bestehen aus einer Welle (dem Wellbaum) und einem darauf befestigten Rad (dem eigentlichen Wellrad). Mit einem Wellrad lassen sich an Zugelementen schwere Lasten hochheben.

Verwendung

Wellräder werden als Grundelemente in Winden und Kränen verwendet, wie sie bereits im Altertum bekannt waren. Nach dem Prinzip des Wellrades arbeiten auch Haspeln, Tretmühlen, Sprossenräder, Winden, Göpel sowie alle Arten von Räderwerken. Im Römischen Reich wurden Wellräder zum Spannen von Armbrustsehnen und Federn in katapultartigen Belagerungsmaschinen genutzt. Heutzutage werden Wellräder unter anderem in Fahrrädern und Bottich-Waschmaschinen genutzt. Des Weiteren arbeiten Compoundbögen sowie Compoundarmbrüste nach dem Wellradprinzip.

Verwendung in historischen Mühlen

Spricht man im Zusammenhang von historischen Mühlen von einem „Wellbaum“, handelt es sich um die verlängerte Radachse des Mühlrads, die bis in das Mühleninnere, den Mühlraum reicht. Der Wellbaum bestand bis in das 19. Jahrhundert überwiegend aus Eichenstämmen, die sich durch ihre besondere Haltbarkeit auszeichneten. Im Mühlraum, der stets der größte und höchste Raum einer Mühle war, führt er auf das Bied oder Mühlgestell, das als Lager für den Wellbaum und als Unterbau für die schweren Steinmahlgänge diente. Das Bied ist eine gut verstrebte Holzkonstruktion aus Säulen, Pfetten, Balken und Schwellen. Die Säulen sind meist rund, reich profiliert und oftmals mit Schnitzereien verziert.

Mechanische Beschreibung

Die krafteinsparende Wirkung von Wellrädern ist schon in der Antike, im Mittelalter und vor allem zu den Anfängen der klassischen Mechanik (16. und 17. Jahrhundert) ein beliebter Untersuchungsgegenstand gewesen. In der Kombination aus zwei Rollen oder Rädern von verschiedenen Radien $r_{1},r_{2}$ gehört das Wellrad neben der Winde und dem Flaschenzug zu den komplexeren Varianten der Einfachen Maschinen.

Statik des Massensystems: Wie eine kleinere Last $m_{2}$ die Last $m_{1}$ im Gleichgewicht halten kann, wird mit der Hebelwirkung erklärt. Die Drehmomente an den Lasten haben dabei dieselben Beträge zur Drehachse (siehe dazu Abb.2):

m_{1}\cdot g\cdot r_{1}=m_{2}\cdot g\cdot r_{2}~~\Rightarrow ~~{\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {r_{2}}{r_{1}}}

.

(Hierbei bezeichnet g den Ortsfaktor.)

Man kann auch sagen, wie das Verhältnis der Radien zueinander, so ist das umgekehrte Lastenverhältnis.

Dynamik des Massensystems: Zum Antrieb eines Wellrades muss das Gewicht $m_{2}\cdot g$ der zweiten, anhebenden Masse größer sein als das entgegenwirkende Gewicht $m_{1}\cdot g$ der anzuhebenden Last. Dabei ist die Trägheitswirkung der Massen an den Rollen mitzuberücksichtigen. Das Beschleunigungsgesetz der Drehbewegung lautet:

\alpha ={\frac {m_{2}\cdot r_{2}-m_{1}\cdot r_{1}}{m_{1}\cdot r_{1}^{2}+m_{2}\cdot r_{2}^{2}}}\cdot g\,

.

(Hierbei bezeichnet $\alpha$ die Winkelbeschleunigung des Wellrades.)

Die Herleitung dieses Gesetzes gelingt in der Mechanik starrer Körper, u. a. über das dynamische Gleichgewicht. Die dynamische Gesetzmäßigkeit geht auf den Mathematiker Leonhard Euler des 18. Jahrhunderts zurück.

Literatur

Jutta Böhm: Mühlen-Radwanderung. Routen: Kleinziegenfelder Tal und Bärental, Umweltstation Weismain des Landkreises Lichtenfels, Weismain/Lichtenfels (Landkreis Lichtenfels), 2000.

Weblinks

Aufgabe mit Skizze zum Wellrad (LEIFI)
Wellrad und Fahrrad – Anwendung von Hebel und Hebelgesetz (Memento vom 10. Oktober 2007 im Internet Archive) (PDF-Datei; 2,68 MB – Internet Archive)

Einzelnachweise

1 2 3 4 5 Jutta Böhm: Mühlen-Radwanderung. S. 9.
↑ Zur Antike siehe etwa Thomas Nelson Winter: The «Mechanical Problems» in the corpus of Aristotle. Digital Commons: University of Nebraska - Lincoln, July 2007 (Zugriff: 1. Januar 2023). Siehe dort insbes. Problem No. 9 der «Mechanischen Probleme». Zum Mittelalter und zur Neuzeit siehe etwa E.J. Dijksterhuis, Die Mechanisierung des Weltbildes. (Springer) Berlin, Heidelberg, New York 1983. (Nachdruck der Ausgabe von 1956.) Insbes. Abschnitt 3.III (Die Mechanik in der Übergangszeit), § 35, S. 279 f.
↑ Georg Hamel: Elementare Mechanik. (Teubner) Leipzig, Berlin 1912, S. 224, Nr. 142 (Anwendungen: Waage und Winde), in §30 (Der Hebel). Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 1. Januar 2023).
↑ Ernst Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch–kritisch dargestellt. Dritte Auflage, (Brockhaus) Leipzig 1897. Zur Statik des Wellrades siehe Kap. 1, §1 (Das Hebelprinzip), Seite 22. Textarchiv – Internet Archive. Zur Dynamik des Wellrades siehe ebd., Kap. 3, §5 (Der D’Alembertsche Satz), Seite 331 f. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 1. Januar 2023).
↑ Zur historischen Herkunft der dynamischen Wellradformel siehe v. a. den Eintrag zur technischen Mechanik in Eulers Werk.

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[böhm2000-1] 1 2 3 4 5 Jutta Böhm: Mühlen-Radwanderung. S. 9.

[TNW-2] Zur Antike siehe etwa Thomas Nelson Winter: The «Mechanical Problems» in the corpus of Aristotle. Digital Commons: University of Nebraska - Lincoln, July 2007 (Zugriff: 1. Januar 2023). Siehe dort insbes. Problem No. 9 der «Mechanischen Probleme». Zum Mittelalter und zur Neuzeit siehe etwa E.J. Dijksterhuis, Die Mechanisierung des Weltbildes. (Springer) Berlin, Heidelberg, New York 1983. (Nachdruck der Ausgabe von 1956.) Insbes. Abschnitt 3.III (Die Mechanik in der Übergangszeit), § 35, S. 279 f.

[GH2-3] Georg Hamel: Elementare Mechanik. (Teubner) Leipzig, Berlin 1912, S. 224, Nr. 142 (Anwendungen: Waage und Winde), in §30 (Der Hebel). Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 1. Januar 2023).

[EM-4] Ernst Mach, Die Mechanik in ihrer Entwicklung, historisch–kritisch dargestellt. Dritte Auflage, (Brockhaus) Leipzig 1897. Zur Statik des Wellrades siehe Kap. 1, §1 (Das Hebelprinzip), Seite 22. Textarchiv – Internet Archive. Zur Dynamik des Wellrades siehe ebd., Kap. 3, §5 (Der D’Alembertsche Satz), Seite 331 f. Textarchiv – Internet Archive (Zugriff: 1. Januar 2023).

[5] Zur historischen Herkunft der dynamischen Wellradformel siehe v. a. den Eintrag zur technischen Mechanik in Eulers Werk.