Vektorbündel

Sei ${\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}$ ein reeller beziehungsweise komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Ein reelles beziehungsweise komplexes Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}$ ist ein Tripel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$, bestehend aus topologischen Räumen ${\displaystyle E}$ (Totalraum) und ${\displaystyle B}$ (Basis) sowie einer stetigen surjektiven Abbildung ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, so dass gilt:

• Für jeden Punkt ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle B}$ trägt die Faser ${\displaystyle E_{x}:=\pi ^{-1}(x)}$ von ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle x}$ die Struktur eines reellen beziehungsweise komplexen n-dimensionalen Vektorraums.
• „Lokale Trivialität“: Zu jedem Punkt ${\displaystyle x\in B}$ existiert eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ und ein Homöomorphismus

${\displaystyle \psi \colon U\times \mathbb {K} ^{n}\to E|_{U}:=\pi ^{-1}(U)\subseteq E}$,

der mit ${\displaystyle \pi }$ kompatibel ist, das heißt ${\displaystyle \pi \circ \psi =\operatorname {pr} _{1}}$, und für den

${\displaystyle \psi _{y}\colon \{y\}\times \mathbb {K} ^{n}\to E_{y}}$

für jedes ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle U}$ ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {pr} _{1}}$ die Projektion auf den ersten Faktor. Ein solches ${\displaystyle \psi }$ heißt lokale Trivialisierung.

Ein Vektorbündel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$ heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung mit ${\displaystyle U=B}$ gibt. ${\displaystyle (B\times \mathbb {K} ^{n},B,\operatorname {pr} _{1})}$ ist ein triviales Vektorbündel.

In verkürzter Ausdrucksweise spricht man oft vom „Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$“, womit das Tripel ${\displaystyle (E,B,\pi )}$ implizit benannt wird.

Geradenbündel

Ein Vektorbündel mit Rang 1 wird Geradenbündel (als Fehlübersetzung aus dem Englischen auch Linienbündel) genannt.

Homomorphismus

Ein Vektorbündelhomomorphismus von dem Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}}$ in das Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to B_{2}}$ ist ein Paar ${\displaystyle (f,g)}$ von stetigen Abbildungen ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ und ${\displaystyle g\colon B_{1}\to B_{2}}$, so dass

• ${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$ gilt und
• ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$ für alle ${\displaystyle x\in B_{1}}$ eine lineare Abbildung ist.

Oftmals wird ein Vektorbündelhomomorphismus kurz als Bündelhomomorphismus oder als Homomorphismus bezeichnet.

Isomorphismus

Ein Vektorbündelhomomorphismus ${\displaystyle (f,g)}$ von ${\displaystyle \pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}}$ nach ${\displaystyle \pi _{2}\colon E_{2}\to B_{2}}$ ist ein Vektorbündelisomorphismus, falls ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ Homöomorphismen sind und die induzierte lineare Abbildung ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$ ein Vektorraumisomorphismus ist.

Beispiel

Betrachtet man den Kreis ${\displaystyle S^{1}}$ als Mannigfaltigkeit, dann ist das Tangentialbündel ${\displaystyle TS^{1}\to S^{1}}$ vom ${\displaystyle S^{1}}$ isomorph zu dem trivialen Vektorbündel ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} \to S^{1}}$. Der Homöomorphismus zwischen den Basisräumen ist die identische Abbildung und der zwischen den Totalräumen lautet

${\displaystyle (e^{i\theta },ite^{i\theta })\mapsto (e^{i\theta },t)}$

für ${\displaystyle e^{i\theta }\in S^{1}}$ und ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Untervektorbündel

Mit ${\displaystyle E_{x}}$ werden die Fasern des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ am Punkt ${\displaystyle x\in B}$ bezeichnet. Ein Untervektorbündel des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ besteht aus einem topologischen Teilraum ${\displaystyle U\subset E}$ bestehend aus einer Familie von Untervektorräumen ${\displaystyle U_{x}}$ von ${\displaystyle E_{x}}$, so dass ${\displaystyle \pi _{U}\colon U\to B}$ ein eigenes Vektorbündel ist.

Eingeschränktes Vektorbündel

Mit ${\displaystyle E_{x}}$ werden wieder die Fasern des Vektorbündels ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ am Punkt ${\displaystyle x\in B}$ bezeichnet und ${\displaystyle D\subset B}$ bezeichnet einen topologischen Teilraum. Das auf ${\displaystyle D}$ eingeschränkte Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{D}\colon E_{D}\to D}$ ist definiert durch

${\displaystyle E_{D}:=E|_{D}:=\bigcup _{m\in D}E_{m}\quad {\text{und}}\quad \pi _{D}:=\pi |_{D}}$.

Das eingeschränkte Vektorbündel ist ein eigenständiges Vektorbündel bezüglich des topologischen Teilraums ${\displaystyle D}$.

Zurückgezogenes Vektorbündel

Für ein Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ und eine stetige Abbildung ${\displaystyle f\colon B_{1}\to B}$ definiert man das zurückgezogene Vektorbündel (engl.: "pull-back" oder "induced bundle", siehe auch Rücktransport) als das Bündel über ${\displaystyle B_{1}}$ mit Totalraum

${\displaystyle f^{*}E:=\left\{(b,e)\in B_{1}\times E\colon f(b)=\pi (e)\right\}}$

und Projektion ${\displaystyle \pi _{1}(b,e)=b}$. Die Vektorraum-Struktur wird definiert durch ${\displaystyle t_{1}(b,e_{1})+t_{2}(b,e_{2})=(b,t_{1}e_{1}+t_{2}e_{2})}$. Man kann zeigen, dass dies wieder ein lokal triviales Vektorbündel definiert.

Für die durch ${\displaystyle {\hat {f}}(b,e)=e}$ definierte Abbildung ${\displaystyle {\hat {f}}\colon f^{*}E\to E}$ gilt also ${\displaystyle \pi \circ {\hat {f}}=f\circ \pi _{1}}$ und für jedes ${\displaystyle b\in B_{1}}$ induziert ${\displaystyle {\hat {f}}}$ einen Vektorraum-Isomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\to \pi ^{-1}(f(b))}$.

Für jede Bündelabbildung ${\displaystyle {\hat {g}}\colon E_{1}\to E_{2}}$ hat man einen Isomorphismus ${\displaystyle E_{1}=g^{*}E_{2}}$, wobei ${\displaystyle g\colon B_{1}\to B_{2}}$ die zu ${\displaystyle {\hat {g}}}$ gehörende Abbildung der Basen ist.

Direktes Produkt, Whitney-Summe, Tensorprodukt

Für zwei Vektorbündel ${\displaystyle \pi _{i}\colon E_{i}\to B_{i},i=1,2}$ definiert man das direkte Produkt als

${\displaystyle \pi _{1}\times \pi _{2}\colon E_{1}\times E_{2}\to B_{1}\times B_{2},}$

wobei jede Faser ${\displaystyle (\pi _{1}\times \pi _{2})^{-1}(b_{1},b_{2})=\pi _{1}^{-1}(b_{1})\times \pi _{2}^{-1}(b_{2})}$ mit der Vektorraum-Struktur als direkte Summe der Vektorräume ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b_{1})}$ und ${\displaystyle \pi _{2}^{-1}(b_{2})}$ versehen wird.

Seien jetzt ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}}$ Vektorbündel über derselben Basis, also ${\displaystyle B_{1}=B_{2}=B}$. Ihre Whitney-Summe wird dann mit Hilfe der Diagonal-Abbildung ${\displaystyle d\colon B\to B\times B}$ definiert als zurückgezogenes Bündel

${\displaystyle \pi _{1}\oplus \pi _{2}:=d^{*}(\pi _{1}\times \pi _{2})}$.

Die Whitney-Summe ist also gerade das Vektorbündel über ${\displaystyle B}$, dessen Faser über ${\displaystyle b\in B}$ die direkte Summe ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\oplus \pi _{2}^{-1}(b)}$ ist.

Analog wird das Tensorprodukt ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}}$ definiert als das Vektorbündel, dessen Faser über ${\displaystyle b\in B}$ das Tensorprodukt ${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(b)\otimes \pi _{2}^{-1}(b)}$ ist.

Schnitt

Ist ${\displaystyle U}$ eine offene Teilmenge von ${\displaystyle B}$, so heißt eine Abbildung

${\displaystyle s\colon U\rightarrow E|_{U}\,,}$

für die ${\displaystyle \pi \circ s=\operatorname {id} |_{U}}$ gilt, ein Schnitt von ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle U}$. Die Menge ${\displaystyle \Gamma (U,E)}$ aller Schnitte von ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle U}$ bildet einen Vektorraum.

Rahmen

Unter einem Rahmen (englisch frame, französisch repère) versteht man eine Art Basis eines Vektorbündels. Es handelt sich um n linear unabhängige Vektoren zu jeder Faser. Diese Vektoren bilden also an jedem Punkt eine Basis der Faser. Präzise bedeutet dies:

Sei ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ein Vektorbündel mit Rang ${\displaystyle n}$ und sei ${\displaystyle U\subset B}$ eine offene Teilmenge des Basisraums. Ein lokales Reper oder Rahmen von ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle U}$ ist ein geordnetes n-Tupel ${\displaystyle (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})}$. Dabei ist für alle i ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ein Schnitt in ${\displaystyle E}$ über ${\displaystyle U}$, so dass ${\displaystyle (\sigma _{1}(p),\ldots ,\sigma _{n}(p))}$ eine Basis der Faser ${\displaystyle E_{p}}$ für alle ${\displaystyle p\in U}$ bildet. Falls man ${\displaystyle U=B}$ wählen kann, so spricht man von einem globalen Rahmen.

Differenzierbares Vektorbündel

Sei ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ein Vektorbündel. Sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle B}$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sind die Projektion ${\displaystyle \pi }$ sowie die Trivialisierungen ${\displaystyle \psi }$ differenzierbar, so heißt das Vektorbündel differenzierbar. Es heißt glatt, wenn die Mannigfaltigkeiten glatt sind und die Abbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Holomorphes Vektorbündel

Ein holomorphes Vektorbündel ist ein komplexes Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ über einer komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$, so dass der Totalraum ${\displaystyle E}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Projektion ${\displaystyle \pi }$ eine holomorphe Abbildung ist.

G-Vektorbündel

Sei ${\displaystyle G}$ eine Gruppe. Wenn ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle B}$ G-Räume sind, dann ist ein Vektorbündel ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ ein G-Vektorbündel falls die Gruppenwirkung

${\displaystyle g\colon E_{x}\rightarrow E_{gx}}$

für alle ${\displaystyle g\in G,x\in B}$ eine lineare Abbildung ist.

Definition

Für (algebraische) Vektorbündel in der algebraischen Geometrie sind ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle B}$ Schemata, ${\displaystyle E_{x}}$ ist für alle Punkte ${\displaystyle x}$ von ${\displaystyle B}$ ein ${\displaystyle \kappa (x)}$-Vektorraum, und die lokalen Trivialisierungen sind Isomorphismen

${\displaystyle U\times A^{n}\to E|_{U}}$

Meist ist mit „Vektorbündel“ in der algebraischen Geometrie jedoch eine lokal freie Garbe gemeint (s. u.).

Lokalfreie Garbe

Es sei ${\displaystyle (X,O_{X})}$ ein lokal geringter Raum, z. B. ein topologischer Raum mit der Garbe der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen, eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Garbe der ${\displaystyle C^{\infty }}$-Funktionen oder ein Schema.

Eine lokal freie Garbe ist ein ${\displaystyle O_{X}}$-Modul ${\displaystyle M}$, der lokal isomorph zu einem freien ${\displaystyle O_{X}}$-Modul ist, d. h. ${\displaystyle X}$ kann durch offene Mengen ${\displaystyle U}$ überdeckt werden, für die ${\displaystyle M|_{U}}$ isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von ${\displaystyle O_{X}|_{U}}$ ist.

Lokalfreie Garben und Vektorbündel

Die beiden folgenden Konstruktionen liefern im Fall von topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Äquivalenz der Kategorien von lokal freien Garben sowie Vektorbündeln auf ${\displaystyle X}$ (der Einfachheit der Notation halber ist der Fall von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum beschrieben):

• Einem Vektorbündel wird die Garbe seiner Schnitte zugeordnet.
• Einer lokal freien Garbe ${\displaystyle M}$ wird die disjunkte Vereinigung ${\displaystyle E}$ ihrer Fasern ${\displaystyle M_{x}/m_{x}M_{x}}$ zugeordnet. Wir wählen eine offene Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})}$ von ${\displaystyle X}$, so dass ${\displaystyle M}$ auf jedem ${\displaystyle U_{i}}$ trivial wird. Eine Trivialisierung definiert ${\displaystyle n}$ nirgends verschwindende Schnitte von ${\displaystyle M}$ über ${\displaystyle U_{i}}$, die fasernweise eine Basis bilden. Diese definieren eine Abbildung

${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {R} ^{n}\to E}$,

und wir definieren die Topologie auf ${\displaystyle E}$ dadurch, dass wir fordern, dass diese Abbildungen Homöomorphismen sind. Sie ist wohldefiniert, da sich diese Abbildungen über dem Schnitt zweier Mengen ${\displaystyle U_{i}}$ und ${\displaystyle U_{j}}$ nur um einen Homöomorphismus (genauer gesagt einen stetig variierenden Vektorraumautomorphismus von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) unterscheiden.

Im Fall der algebraischen Geometrie ist diese Konstruktion etwas einfacher: das Bündel zu einer lokalfreien Garbe ${\displaystyle E}$ ist

${\displaystyle {\bf {V}}(E^{or}):={\bf {Spec}}S(E^{or})}$

dabei bezeichnet ${\displaystyle S}$ die symmetrische Algebra und ${\displaystyle {\bf {Spec}}}$ das Algebrenspektrum.