Skalare Betrachtung

Ein Kräftegleichgewicht und damit eine geradlinige Durchquerung des Filters liegt vor, wenn für die elektrische Kraft ${\displaystyle F_{\text{C}}}$ und die Lorentzkraft ${\displaystyle F_{\text{L}}}$ gilt:

${\displaystyle \,F_{\text{C}}=F_{\text{L}}}$

${\displaystyle q\,E=q\,v\,B}$

${\displaystyle E=v\,B}$

Somit ergibt sich die Durchlassgeschwindigkeit:

${\displaystyle v={\frac {E}{B}}={\frac {\left|{\vec {E}}\right|}{\left|{\vec {B}}\right|}}}$

Mit Verwendung des Vektorprodukts

Für die Bewegung im Feld gilt mit Hilfe des zweiten newtonschen Gesetzes:

${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m\,{\dot {\vec {v}}}=m\,{\vec {a}}=q\,({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

Nichtablenkung bedeutet ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m\,{\vec {a}}=0}$.

${\displaystyle q\,{\vec {E}}=-q\,({\vec {v}}\times {\vec {B}})}$

Da Geschwindigkeit, elektrisches Feld und Magnetfeld nach Voraussetzung jeweils senkrecht zueinander stehen, gilt:

${\displaystyle v={\frac {\left|{\vec {E}}\right|}{\left|{\vec {B}}\right|}}}$