Das Wiener-Filter oder auch Wiener-Kolmogoroff-Filter ist ein Filter zur Signalverarbeitung, welches in den 1940er Jahren von Norbert Wiener und Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow unabhängig voneinander entwickelt und 1949 durch Norbert Wiener publiziert wurde. Es führt, gemessen an der mittleren quadratischen Abweichung, eine optimale Rauschunterdrückung durch.

Eigenschaften

Das Wiener-Filter wird durch die folgenden Eigenschaften beschrieben:

1. Voraussetzung: Das Signal und das additive Rauschen gleichen stochastischen Prozessen mit bekannter Spektralverteilung oder bekannter Autokorrelation und Kreuzkorrelation
2. Fehlerkriterium: Minimale mittlere quadratische Abweichung

Modelleigenschaften

Als Eingangssignal des Wiener-Filters wird ein Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ gestört durch ein additives Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ vorausgesetzt:

${\displaystyle y(t)=s(t)+n(t).}$

Das Ausgangssignal ${\displaystyle x\left(t\right)}$ ergibt sich durch die Faltung des Eingangssignals mit der Filterfunktion ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$:

${\displaystyle x(t)=g(\tau )*y(t)=g(\tau )*\left(s(t)+n(t)\right).}$

Fehler ${\displaystyle e(t)=s\left(t+d\right)-x(t)}$ und quadratischer Fehler ${\displaystyle e^{2}(t)=s^{2}\left(t+d\right)-2s(t+d)x(t)+x^{2}(t)}$ ergeben sich aus der Abweichung des Ausgangssignals vom zeitversetzten Eingangssignal ${\displaystyle s\left(t+d\right).}$ Abhängig von dem Wert d des Zeitversatzes können unterschiedliche Problemstellungen betrachtet werden:

• Für ${\displaystyle \left.d>0\right.}$ : Prädiktion
• Für ${\displaystyle \left.d=0\right.}$ : Filterung
• Für ${\displaystyle \left.d<0\right.}$ : Glättung

Stellt man ${\displaystyle x\left(t\right)}$ als Faltungsintegral dar:

${\displaystyle x(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )\left[s(t-\tau )+n(t-\tau )\right]d\tau },}$

so ergibt sich der Erwartungswert des quadratischen Fehlers zu:

${\displaystyle E(e^{2})=R_{s}(0)-2\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )R_{y\,s}(\tau +d)d\tau }+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{g(\tau )g(\theta )R_{y}(\tau -\theta )d\tau }d\theta },}$

wobei

• ${\displaystyle R_{s}}$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.s(t)\right.,}$
• ${\displaystyle R_{y}}$ die Autokorrelation der Funktion ${\displaystyle \left.y(t)\right.,}$
• ${\displaystyle R_{y\,s}}$ die Kreuzkorrelation der Funktionen ${\displaystyle \left.y(t)\right.}$ und ${\displaystyle \left.s(t)\right.}$ sind.

Wenn das Signal ${\displaystyle s\left(t\right)}$ und das Rauschen ${\displaystyle n\left(t\right)}$ unkorreliert sind (und damit die Kreuzkorrelation gleich Null ist), ergeben sich folgende Vereinfachungen

• ${\displaystyle R_{y\,s}=R_{s},}$
• ${\displaystyle R_{y}=R_{s}+R_{n}.}$

Das Ziel ist es nun, ${\displaystyle \left.E(e^{2})\right.}$ durch Bestimmung eines optimalen ${\displaystyle g\left(\tau \right)}$ zu minimieren.

Stationäre Lösungen

Das Wiener-Filter hat jeweils eine Lösung für den kausalen und den nicht-kausalen Fall.

Siehe auch

• Kalman-Filter
• Wiener-Dekonvolution

Einzelnachweise

1. ↑ Kristian Kroschel: Statistische Nachrichtentheorie. Signal- und Mustererkennung, Parameter- und Signalschätzung. 3., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-61306-4.
2. 1 2 Norbert Wiener: Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series. Wiley, New York NY 1949.
3. ↑ Robert Grover Brown, Patrick Y. C. Hwang: Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering. With MATLAB exercises and solutions. 3. Auflage. Wiley u. a., New York NY 1996, ISBN 0-471-12839-2.