Volumen der Wiener-Wurst

Sei ${\displaystyle V(t,\varepsilon )}$ das Lebesgue-Maß der Wiener-Wurst, dann gilt

${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }t^{-d/(2+d)}\log \mathbb {E} \left[e^{-\nu V(t,\varepsilon )}\right]=-k(d)\nu ^{2/(2+d)},}$

wobei

${\displaystyle k(d)={\frac {d+2}{d}}\left({\frac {2\lambda _{d}}{d}}\right)^{d/(d+2)}\omega _{d}^{2/(2+d)}}$

unabhängig von ${\displaystyle \varepsilon }$ und ${\displaystyle \nu }$ ist. ${\displaystyle \lambda _{d}}$ bezeichnet den kleinsten Eigenwert des Dirichletproblems ${\displaystyle \Delta {\tfrac {1}{2}}}$ auf dem Einheitsball in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ (${\displaystyle \Delta }$ ist der Laplace-Operator) und ${\displaystyle \omega _{d}}$ ist das Volumen des ${\displaystyle d}$-dimensionalen Einheitsballes. Das Resultat wurde von Monroe D. Donsker und S. R. Srinivasa Varadhan mit Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet.