Proportionen nach Boëthius

Vielfach (multiplex) gestaltete sich nach Boëthius ein Verhältnis zwischen zwei Zahlen, wenn die größere Zahl die kleinere Zahl mehr als einmal in sich enthielt. Die einfachste Form ist der zweite multiplex einer Grundzahl ${\displaystyle n}$, also ${\displaystyle n^{2}}$.

Überteilig (superparticularis) bezeichnete das Verhältnis zwischen zwei Zahlen, wenn die größere Zahl nicht nur die kleinere Zahl einmal enthielt, sondern auch noch einen einzigen Teil von ihr (also einen einfachen Bruch wie ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}}}$ usw.). Zum Beispiel ist dies für die ${\displaystyle 4}$ die ${\displaystyle 6}$, denn die ${\displaystyle 6}$ enthält die ${\displaystyle 4}$ einmal ganz und zudem die Hälfte von ${\displaystyle 4}$ (${\displaystyle 6=4+{\tfrac {4}{2}}}$). Allgemein sind die beiden ersten superparticulares ${\displaystyle n\cdot (n+1)}$ und ${\displaystyle \left(n+1\right)^{2}}$.

Mehrfachteilig (superpartiens) war bei Boëthius das Verhältnis, wenn die größere Zahl nicht nur die kleinere Zahl ganz enthielt, sondern auch mehrere Teile der kleineren Zahl (also einen mehrfachen Bruch wie ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {4}{5}}}$ usw.). Nimmt man also die ${\displaystyle 9}$ (als superparticularis von ${\displaystyle 6}$), dann ist deren erster superpartiens die ${\displaystyle 15}$ (als Summe aus ${\displaystyle 9}$ und ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ von ${\displaystyle 9}$). Zur ${\displaystyle 15}$ mehrfachteilig verhält sich nun die ${\displaystyle 25}$ (als Summe aus ${\displaystyle 15}$ und ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ von ${\displaystyle 15}$). Allgemein sind die beiden ersten superpartientes ${\displaystyle \left(n+1\right)\cdot \left(2n+1\right)}$ und ${\displaystyle \left(2n+1\right)^{2}}$.

Bedeutung für das Spiel

Aus diesen Regeln erhielt man damit (wenn man Boëthius kannte), eine Reihe von Zahlen:

${\displaystyle n,n^{2},n\cdot \left(n+1\right),\left(n+1\right)^{2},\left(n+1\right)\cdot \left(2n+1\right)}$ und ${\displaystyle \left(2n+1\right)^{2}}$

Da das Spiel auf acht Grundwerten basierte (${\displaystyle 2}$ bis ${\displaystyle 9}$), erhielt man damit insgesamt 48 Werte, also jeweils 24 pro Spieler. Aufgrund der Rechnung mit Proportionen kam es also auch vor, dass einige Zahlen mehrfach auftauchten, jedoch in unterschiedlichen Qualitäten, z. B. mal als Grundwert, zugleich als superparticularis (etwa die ${\displaystyle 6}$ oder ${\displaystyle 9}$).

Die Pyramiden

Eine besondere Bedeutung nahm noch die Figur der Pyramide ein (ähnlich dem König im Schach). Eine Pyramide kam auf jeder Seite einmal vor, bei den Geraden die ${\displaystyle 91}$, bei den Ungeraden die ${\displaystyle 190}$. Die erste Pyramide war, wieder nach Boëthius, die Summe der Quadrate der ersten sechs natürlichen Zahlen (${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=91}$). Dies war für Boëthius eine vollkommene Pyramide, weil sie von der Basis, hier vom Quadrat über ${\displaystyle 6}$, bis zur Spitze ${\displaystyle 1}$ keine Stufe ausließ. Die Pyramide ${\displaystyle 190}$ hingegen war die Summe aus den Quadraten über den natürlichen Zahlen 4 bis 8 (${\displaystyle 4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}=190}$). Da die ersten drei Quadratzahlen an der Spitze fehlten, wurde sie dreifach gekürzt genannt.

Aufbau des Spielfeldes

Seine entscheidende Überarbeitung (besonders in Sachen Spielbarkeit) erhielt das Zahlenkampfspiel in der Lütticher Version von 1070. Nicht nur bestimmte der Lütticher Anonymus, dass das Spielfeld 8 × 16 Felder besitzen sollte, er ordnete auch die verschiedenen Steine jeweils nach ihren Proportionen sinnvoll an und gab ihnen verschiedene Größen. Die Vielfachen seien die kleinsten, die Überteiligen die größeren, die Mehrfachteiligen die größten. Die Geraden acht Kleinsten in weiß, bei den Ungeraden in schwarz, die acht Mittleren bei den Geraden in rot, bei den Ungeraden in weiß, die acht Größten bei den Geraden in schwarz, bei den Ungeraden in Grün.

Aufgestellt waren diese nach ihren Proportionen: Die Grundwerte vorne in der Mitte, ihre Vielfache dahinter. Daran schlossen sich die Überteiligen an, nämlich die beiden Überteiligen jeweils unter bzw. über den äußeren Grundwerten (also über der 2 ihre Überteiligen 6 und 9, unter der 8 die 72 und 81). Rechts hinter der 2 stand also ihr Vielfaches 4, darüber die 6, über dieser die 9, sodass sich multiplices und superparticulares aneinander im rechten Winkel anschlossen. Die übrigen superparticulares wurden ebenfalls im rechten Winkel verteilt. In die beiden oberen bzw. unteren Ecken kamen die superpartientes, diese schlossen sich jeweils an die jeweiligen superparticulares an, erneut im rechten Winkel. Damit waren die Proportionen eines Grundwertes auf dem Spielbrett zusammenhängend verbunden. Damit gestalteten sich die Reihen der Proportionen bei den Geraden beispielsweise folgendermaßen:

Die Farbgebung, die ebenfalls in Lüttich vorgenommen wurde, macht die Verteilung der jeweiligen Proportionen sehr deutlich.

Eine Aufstellung nebeneinander in einer Reihe (wie beim Schach) hätte den Spielfluss enorm behindert, denn die vorderste Reihe wäre nur von Vielfachen besetzt gewesen, die sich zum einen nur sehr schwer bewegen und zugleich auch vom Gegner nur sehr schwer beseitigen ließen.

Regeln

Asilo hatte schon in seinem Rundschreiben in den 1030er Jahren die fünf Hauptregeln aufgestellt, die fortan fast unverändert gültig blieben – sie wurden lediglich anders angeordnet:

1. Ein eigener Stein durfte einen gegnerischen Stein wegnehmen, wenn die Zahl der dazwischenliegenden Felder, multipliziert mit dem Zahlwert des eigenen Steines, den Wert des gegnerischen Steines genau erreichte. Dies war eine entscheidende Regel, denn damit waren nicht die größten Zahlen, sondern die kleinsten am mächtigsten. Etwa konnte eine 2 über acht Felder hinweg eine 16 schlagen usw.
2. Ein gegnerischer Stein wurde weggenommen, wenn er von eigenen Steinen, sei es in gerader Linie oder im rechten Winkel, so umstellt war, dass Produkt oder Summe der Anlieger dem Wert des eingeschlossenen Steines gleichkamen. Etwa schlugen die Geraden Werte 15 und 49 die Ungerade überteilige 64. Voraussetzung war, dass die Steine durch korrekte Züge in Position gelangt waren und in unmittelbarer Nachbarschaft lagen.
3. Bei einem ordnungsgemäßen Zug (d. h. direkt auf das Feld des gegnerischen Steins ohne Multiplikation o. Ä.) nahm der eigene Stein denjenigen gegnerischen Stein weg, dessen Zahlenwert gleich dem eigenen war, dabei wurde das Feld des Gegners besetzt, z. B. schlug die Gerade 81 die Ungerade 81, hierbei ging es um den Wert der Zahl, nicht um die Proportion.
4. Eine Pyramide konnte dann geschlagen werden, wenn ihre Basis, die im gegnerischen Lager stand, sie durch einen ordnungsgemäßen Zug traf. Da die Pyramide als Aufbau von übereinander geschichteten Quadraten gedacht war, fielen auch gleichzeitig alle darüber errichteten Quadrate, wenn die Basis der Pyramide getroffen wurde. Wenn also der Ungerade superparticularis 36 aus dem dritten Feld die Gerade Pyramide 91 traf, beseitigte er neben ihr die Steine 4 (nur einen der beiden), 9, 16, 25 (wieder nur einen der vorhandenen) und 36 (als Quadrate über 2, 3, 4, 5 und 6). Damit waren Pyramiden besonders gefährdete Steine.
5. Primzahlen wurden dann weggenommen, wenn sie von allen Seiten umzingelt waren und über kein freies Feld entkommen konnten. Dies sollte die anscheinende Unverwundbarkeit der kleinen Zahlen ausgleichen. Zur Umzingelung benötigte man aber schon vier Steine, demnach gestaltete sich dies sehr schwierig.

Asilo hatte zudem bestimmt, dass die Steine nur in geraden Linien oder im rechten Winkel gezogen werden konnten, ferner durfte der Weg zum gegnerischen Stein nicht durch andere Steine blockiert sein. Zudem bestand die Regel, dass die Steine nach Proportion zur 1 unterschiedlich weit ziehen konnten, die Grundwerte nur 1 Feld, die multiplices 2, die superparticulares 3 und die superpartientes 4 Felder.

Siegbedingungen

Damit man sich nicht in seiner eigenen Hälfte verschanzte, musste nach Asilo jeder Stein seine Ausgangsposition verlassen haben. Dies wurde aber in späteren Überarbeitungen gestrichen. Wichtiger war die eigentliche Siegbedingung, die den gesamten Charakter des Spieles deutlich machte: Man musste im Lager des Gegners eine arithmetische oder harmonische Reihe aus drei Steinen errichten. Dies sollte erstens wieder einmal die Theorien des Boëthius einüben, zugleich wurde so aber auch der Vorrang der Harmonie über den Konflikt betont. Hermann der Lahme brachte als zusätzliche Möglichkeit die große Harmonie nach Boëthius ein, die allerdings nicht von jedem übernommen wurde, benötigte man dafür doch schon eine Viererreihe, deshalb seien hier nur die arithmetische und die harmonische Reihe genannt:

Arithmetische Reihe: Das arithmetische Mittel des Boëthius bestand aus drei oder mehr Gliedern (termini), zwischen denen gleiche Differenzen herrschten, etwa aus 1, 2, 3 mit der Differenz 1 oder aus 1, 3, 5 mit der Differenz 2. Asilo beschränkte sich auf dreigliedrige Reihen, dabei war das mittlere Glied die halbe Summe der beiden äußeren Glieder, dafür ergaben sich also zahlreiche Kombinationen.

Harmonische Reihe: Hier waren die Glieder durch eine Mischung aus Differenz und Proportion verbunden. Die Differenz zwischen dem größten und dem mittleren Glied einerseits, die Differenz zwischen dem mittleren und kleinsten Glied andererseits, traten zueinander ins gleiche Verhältnis wie das größte zum kleinsten Glied, etwa bei 3, 4, 6, wo 6 − 4 und 4 − 3 so zueinander standen wie 6 zu 3 (nämlich 2 : 1). Für eine harmonische Reihe war es jedoch nötig, einen gegnerischen Stein zu erbeuten, worin der Reiz dieser Option lag.

Wer den ersten Stein einer Reihe im gegnerischen Feld setzte, musste dies ansagen; natürlich konnte sich der Gegner dazwischendrängen, tat aber besser daran, seinerseits eine Reihe im Lager des Gegners zu errichten. Dabei durfte der Stein, der als Beginn einer Reihe angesagt wurde, nicht weggenommen werden. Erbeutete Steine konnten zunächst aus dem Spiel genommen, später durften sie wieder eingebracht werden.

Gewonnen hatte also derjenige, der als Erster eine Harmonie im Lager des Gegners stiftete und damit den Streit, das Ungleiche, wieder zur Gleichheit versöhnte. Dies stand ganz im Sinne der Ethik und der Philosophie des Mittelalters, als Erbe des Boëthius.