Fixpunkte und periodische Punkte

Für ${\displaystyle \textstyle x\in \{0,{\frac {2}{3}}\}}$ bildet die Funktion den Eingabewert auf sich selbst ab. Des Weiteren ergibt sich aus der Struktur der Funktion, dass alle ${\displaystyle \textstyle x_{0}\in \mathbb {R} }$, die sich als ${\displaystyle \textstyle x_{0}={\frac {a}{2^{n}}}}$ mit ${\displaystyle a\in \{0,1,\dotsc ,2^{n}\}}$ darstellen lassen, nach spätestens ${\displaystyle n+1}$ Iterationen den Fixpunkt ${\displaystyle \textstyle 0}$ erreichen. Außerdem gibt es für jedes ${\displaystyle \textstyle n\in \mathbb {N} }$ periodische Punkte ${\displaystyle \textstyle x_{n}}$ mit der Primperiode ${\displaystyle \textstyle n}$, bei denen die ${\displaystyle n}$-fach wiederholte Anwendung von ${\displaystyle \textstyle T_{2}}$ zum Anfangswert ${\displaystyle \textstyle x_{n}}$ führt

${\displaystyle x_{n}\in {\begin{cases}\{0,{\frac {2}{3}}\},&{\text{wenn }}n=1\\\{{\frac {2}{5}},{\frac {4}{5}}\},&{\text{wenn }}n=2\\\{{\frac {2}{9}},{\frac {2}{7}},{\frac {4}{9}},{\frac {4}{7}},{\frac {6}{7}},{\frac {8}{9}}\},&{\text{wenn }}n=3\\\{\dots \},&{\text{wenn }}n\in \mathbb {N} \\\end{cases}}}$