Zetafunktions-Regularisierung

Die Zetafunktions-Regularisierung (auch Zeta-Regularisierung) ist in der Mathematik und in der Physik eine Methode um einer divergierenden Summe oder Produkt einen endlichen Wert über die Zetafunktion zuzuordnen, einer sogenannten Regularisierung. Die Zeta-Regularisierung ist somit eine Möglichkeit um die Spur und Funktionaldeterminante eines unendlichdimensionalen Operators zu definieren, solche Typen von Determinanten nennt man regularisierte Determinanten.

Die Zetafunktions-Regularisierung hat ihren Ursprung in der analytischen Zahlentheorie, findet aber häufig Anwendung in der Physik und kann unter anderem zur Berechnung von Pfadintegralen verwendet werden. In der Quantenfeldtheorie kann sie zur Berechnung der Vakuumenergie des Casimir-Effektes verwendet werden.

Zetafunktions-Regularisierung

Grundlagen: Zetafunktion

Die riemannsche Zetafunktion

\zeta (z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}

ist absolut konvergent für $\operatorname {Re} (z)>1$ und kann auf $\operatorname {Re} (z)\leq 1$ durch analytische Fortsetzung erweitert werden, wobei sie an der Stelle $z=1$ eine Polstelle besitzt. Für nichtpositive ganze Werte gilt folgende Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen

\zeta (-z)=-{\frac {B_{z+1}}{z+1}},\quad z\geq 0

was zu neuen Ergebnissen für ansonsten divergente Reihen führt

\zeta (0)\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }1=1+1+1+\cdots ,\quad

aber auch

\zeta (0)=-B_{1}=-{\tfrac {1}{2}},

\zeta (-1)=\sum _{n=1}^{\infty }n=1+2+3+\cdots ,\quad

aber auch

\zeta (-1)=-{\tfrac {1}{2}}B_{2}=-{\tfrac {1}{12}}.

Sei $\Sigma$ der Raum der Reihen. Die Zetafunktions-Regularisierung ersetzt die klassische Summation $S:\Sigma \to {\overline {\mathbb {C} }}$ durch eine neue Abbildung $S_{\operatorname {z} }:\Sigma \to {\overline {\mathbb {C} }}$ , die divergenten Summen einen neuen Wert zuordnet, aber auf dem Bereich $\operatorname {Re} (z)>1$ mit $S$ übereinstimmt.

Verallgemeinerte Zetafunktion

Wir verallgemeinern nun die Zetafunktion

\zeta _{A}(z):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{z}}}

für eine beliebige Folge $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und definieren $\zeta _{A}(z)$ wieder durch analytische Fortsetzung, sofern diese existiert. Typischerweise sind die $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ Eigenwerte eines Operators $A$ .

Mellin-Transformation

Sei $\zeta _{A}(z)$ die verallgemeinerte Zetafunktion für $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , dann existiert folgender nützliche Zusammenhang zur Mellin-Transformation

\zeta _{A}(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\exp(-\lambda _{n}t)\mathrm {d} t.

Falls der Satz von Fubini anwendbar ist, dann

\zeta _{A}(z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\exp(-\lambda _{n}t)\mathrm {d} t.

Zetafunktion eines Operators

Die Zetafunktion eines Operators $A$ ist definiert als

\zeta _{A}(z)=\operatorname {tr} (A^{-z}).

Falls die Eigenwerte $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$ von $A$ bekannt und abzählbar sind, dann lässt sich der Ausdruck zur spektralen Zetafunktion

\zeta _{A}(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{z}}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }e^{-z\log \lambda _{n}}

umschreiben.

Eigenwertstruktur

Sind die Eigenwerte des Operators beispielsweise von der Form

$\lambda _{n}:=an$ mit einer fixen Konstante $a$ , so erhält man gerade die riemannsche Zetafunktion,
$\lambda _{n}=c(n+b)$ mit fixen Konstanten $c,b$ , so ergibt sich die hurwitzsche Zeta-Funktion.

Welche Zetafunktion man wählt, hängt somit von der Eigenwertstruktur des Operators ab.

Falls $A$ ein Differentialoperator (oder Pseudodifferentialoperator) ist und man nichts über die Eigenwerte von $A$ weiß, so kann man mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung

{\frac {\partial }{\partial t}}K(t,x,y)=A_{x}K(t,x,y)

Informationen über sie herausfinden, wobei $K(t,x,y)$ der Wärmeleitungskern ist und $A_{x}$ die Anwendung auf die $x$ -Komponente bedeutet.

Funktionaldeterminante des Operators

Berechnen wir nun die Ableitung der spektralen Zetafunktion an der Stelle Null

\zeta '_{A}(0)={\frac {\mathrm {d} \zeta }{\mathrm {d} z}}{\bigg \vert }_{z=0}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-\log \lambda _{n})e^{-0\log \lambda _{n}}=-\log \left(\prod \limits _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}\right),

dann können wir eine Funktionaldeterminante durch

\operatorname {det} (A)=\prod \limits _{n=1}^{\infty }\lambda _{n}=e^{-\zeta '_{A}(0)}

definieren, sofern $\zeta '_{A}(0)$ existiert.

Beispiele

Casimir-Energie

Wir betrachten vier-dimensionale ultrastatische Raumzeit mit $4$ -Metrik $g_{4}=-(dx^{0})^{2}+g_{3},$ somit haben wir eine Zerlegung des vier-dimensionalen Differentialoperator in

D_{4}=-(\partial _{0})^{2}+D_{3}.

Seien $\lambda _{n}$ die Eigenwerte von $D_{3}$ , dann sind die Eigenfrequenzen

\omega _{n}=c{\sqrt {\lambda _{n}}},

wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit ist. Möchte man nun die Nullpunktenergie

E_{\text{Casimir}}={\frac {\hbar }{2}}\sum \limits _{n}\omega _{n}

berechnen, so lässt sich diese als Zeta-Regularisierung

E_{\text{Reg}}(s)={\frac {1}{2}}\hbar c\mu \zeta _{D_{3}}\left(-{\tfrac {1}{2}}+s\right)

berechnen, wobei $\mu$ ein Skalierungsparameter ist. Eine vollständig Abhandlung lässt sich in () finden.

Geschichte

Schon 1916 benutzten Godfrey Harold Hardy und John Edensor Littlewood die Zetafunktion zur Regularisierung. 1935 verwendete Torsten Carleman die Zetafunktion um die Eigenwerte des Laplace-Operators einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit in einer kompakten Region zu kodieren, der allgemeine Fall heißt heute Minakshisundaram-Pleijel-Zeta-Funktion. 1971 verwendeten dann Daniel Burrill Ray und Isadore M. Singer die Zetafunktion um die Spur und Determinante eines positiven, selbstadjungierten Operators zu definieren. 1976 verwendeten John Stuart Dowker und Raymond Critchley das erste Mal die Zetafunktions-Regularisierung in der Quantenmechanik und 1977 Stephen Hawking die Zeta-Regulierung für Pfadintegrale in gekrümmter Raumzeit.

Literatur

Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 133–148.
Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.

Einzelnachweise

↑ Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 140.
↑ Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 6–7, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.
↑ Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 139–141.
↑ Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 133.
↑ Steven K. Blau, Matt Visser und Andreas Wipf: Zeta functions and the Casimir energy. In: Elsevier (Hrsg.): Nuclear Physics B. Band 310, Nr. 1, 1988, S. 5, doi:10.1016/0550-3213(88)90059-4.
1 2 Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 95–119, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.
↑ G.H. Hardy und J.E. Littlewood: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. In: Acta Math. Band 41, Nr. 119, 1916.
↑ T. Carleman: Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes. In: Skand. Mat.-Kongr. 8. 1935, S. 34–44.
↑ Subbaramiah Minakshisundaram und Åke Pleijel: Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 1, 1949, S. 242–256, doi:10.4153/CJM-1949-021-5.
↑ D. B. Ray und I. M. Singer: R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. In: Advances in Mathematics. Band 7, Nr. 2, 1971, S. 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4.
↑ J. S. Dowker und Raymond Critchley: Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space. In: Phys. Rev. D 13. Band 3224, 1976.
↑ Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 133–148.
↑ Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 5–6, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.

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[1] Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 140.

[2] Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 6–7, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.

[3] Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 139–141.

[4] Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 133.

[5] Steven K. Blau, Matt Visser und Andreas Wipf: Zeta functions and the Casimir energy. In: Elsevier (Hrsg.): Nuclear Physics B. Band 310, Nr. 1, 1988, S. 5, doi:10.1016/0550-3213(88)90059-4.

[ElizaldeCasimir-6] 1 2 Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 95–119, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.

[7] G.H. Hardy und J.E. Littlewood: Contributions to the theory of the Riemann zeta-function and the theory of the distribution of primes. In: Acta Math. Band 41, Nr. 119, 1916.

[8] T. Carleman: Propriétés asymptotiques des fonctions fondamentales des membranes vibrantes. In: Skand. Mat.-Kongr. 8. 1935, S. 34–44.

[9] Subbaramiah Minakshisundaram und Åke Pleijel: Some properties of the eigenfunctions of the Laplace-operator on Riemannian manifolds. In: Canadian Journal of Mathematics. Band 1, 1949, S. 242–256, doi:10.4153/CJM-1949-021-5.

[10] D. B. Ray und I. M. Singer: R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. In: Advances in Mathematics. Band 7, Nr. 2, 1971, S. 145–210, doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4.

[11] J. S. Dowker und Raymond Critchley: Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space. In: Phys. Rev. D 13. Band 3224, 1976.

[12] Stephen William Hawking: Zeta function regularization of path integrals in curved spacetime. In: Communications in Mathematical Physics. Band 55, Nr. 2, 1977, S. 133–148.

[13] Emilio Elizalde: Ten Physical Applications of Spectral Zeta Functions. Hrsg.: Springer (= Lecture Notes in Physics. Band 855). Berlin, Heidelberg 2012, S. 5–6, doi:10.1007/978-3-642-29405-1.