Zylindrische σ-Algebra

Die zylindrische σ-Algebra ist eine σ-Algebra, welche durch die Zylindermengen eines Vektorraumes erzeugt wird. Die Zylindermengen hängen von einem Raum von linearen Funktionen ab, dies kann zum Beispiel der topologische Dualraum sein, die zylindrische σ-Algebra ist dann die kleinste σ-Algebra, so dass diese Funktionen messbar sind. Die zylindrische σ-Algebra ist eine Teilmenge der borelschen σ-Algebra und im Allgemeinen nicht gleich.

Definition

Sei $X$ ein reeller Vektorraum, $F$ ein linearer Raum von linearen reellen Funktionen auf $X$ und ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ die borelsche σ-Algebra. Wir definieren zuerst die Familie aller Zylindermengen ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$ , das heißt die Familie aller Mengen der Form

Z_{f_{1},\dots ,f_{n},B}:=\{x\in X:(f_{1}(x),\dots ,f_{n}(x))\in B\}

wobei $f_{1},\dots ,f_{n}\in F$ und $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ .

Diese ist im Allgemeinen nur eine Algebra und wird zylindrische Algebra genannt. Die kleinste σ-Algebra, die ${\mathcal {Zyl}}(X,F)$ enthält, ist die σ-Algebra

{\mathcal {E}}(X,F):=\sigma (F)=\sigma ({\mathcal {Zyl}}(X,F))

und wird zylindrische σ-Algebra oder auch $F$ -zylindrische σ-Algebra genannt. Weiter gilt

{\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}(X).

Schreibt man nur ${\mathcal {E}}(X),$ dann meint man in der Regel einfach die σ-Algebra aller Zylindermengen von $X$ .

Wichtiger Spezialfall

Sei $X$ ein lokalkonvexer Raum und $F\subseteq X'$ , wobei $X'$ der topologische Dualraum ist. Die zylindrische σ-Algebra ${\mathcal {E}}(X,X')$ ist gerade die kleinste σ-Algebra, so dass alle stetigen linearen Funktionale messbar sind.

Oder in anderen Worten, die σ-Algebra wird durch die Mengen der Form

\{x\in X:f(x)<c\}

mit $f\in X'$ und $c\in \mathbb {R}$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

Im Allgemeinen gilt

{\mathcal {E}}(X,F)\subseteq {\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X),

wobei die ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ die bairesche σ-Algebra ist.

Ist zum Beispiel $X=\mathbb {R} ^{T}$ und $T$ überabzählbar, dann gilt ${\mathcal {E}}(X,F)<{\mathcal {B}}(X)$ .

Für den topologischen Dualraum gilt

{\mathcal {E}}(X',X)\subseteq {\mathcal {E}}(X',X'')\subseteq {\mathcal {B}}(X').

Gleichheit zur borelschen σ-Algebra

Ein Lindelöf-Raum $X$ heißt erblich, wenn jeder seiner offenen Unterräume auch ein Lindelöf-Raum ist. Sei $X$ ein lokalkonvexer Raum, der hausdorff und auch ein erblicher Lindelöf-Raum ist. Dann gilt folgende Gleichheit

{\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).

Ist $X$ ein separabler Fréchet-Raum (insbesondere jeder separable Banach-Raum) und $\Gamma \subseteq X'$ eine Menge, welche die Punkte in $X$ trennt (d. h. für jedes $x\neq 0$ existiert ein $f\in \Gamma$ mit $f(x)\neq 0$ ), so gilt

{\mathcal {E}}(X,\Gamma )={\mathcal {B}}(X).

Insbesondere gilt wegen des Satzes von Hahn-Banach für einen separablen Fréchet-Raum

{\mathcal {E}}(X,X')={\mathcal {B}}(X).

Gleichheit zur baireschen σ-Algebra

Es gilt

{\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,C_{b}(X,\mathbb {R} )),

wobei $C_{b}(X,\mathbb {R} )$ der Raum der stetigen und beschränkten Funktionen ist.

Literatur

Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. Band 2, 2007.
N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987.

Siehe auch

Zylindrisches Maß

Einzelnachweise

1 2 Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. 2007, S. 117.
1 2 Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X, S. 374.
↑ Itaru Mitoma, Susumu Okada und Yoshiaki Okazaki: Cylindrical σ-algebra and cylindrical measure. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 14, Nr. 3, 1977, S. 640 (Theorem 3.6).
↑ N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 17.
↑ N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[Bogatschow-1] 1 2 Wladimir I. Bogatschow: Measure Theory. Hrsg.: Physica-Verlag. 2007, S. 117.

[Bogatschow2-2] 1 2 Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 1-4704-1869-X, S. 374.

[3] Itaru Mitoma, Susumu Okada und Yoshiaki Okazaki: Cylindrical σ-algebra and cylindrical measure. In: Osaka University and Osaka Metropolitan University, Departments of Mathematics (Hrsg.): Osaka Journal of Mathematics. Band 14, Nr. 3, 1977, S. 640 (Theorem 3.6).

[4] N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 17.

[5] N. N. Vakhania, V. I., Tarieladze, S. A. Chobanyan: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987, S. 4.