Bairesche σ-Algebra

Die bairesche σ-Algebra ist in der Maßtheorie die kleinste σ-Algebra eines topologischen Raumes, so dass die reellwertigen stetigen Funktionen messbar sind. Sie wird durch die Baire-Mengen erzeugt, diese sind Borel-Mengen, die keine pathologischen Eigenschaften besitzen. Die bairesche σ-Algebra ist somit eine Unter-σ-Algebra der borelschen σ-Algebra

{\mathcal {B}}_{0}(X)\subseteq {\mathcal {B}}(X).

Die bairesche σ-Algebra ist nach René Louis Baire benannt. In der Literatur existieren unterschiedliche Definition der Baire-Mengen, die zum Teil nicht äquivalent sind. Folglich gibt es auch unterschiedliche Definitionen der baireschen σ-Algebra und des Baire-Maßes. Wir folgen Wladimir Igorewitsch Bogatschow.

Bairesche σ-Algebra

Sei $X$ ein topologischer Raum und $C(X,\mathbb {R} )$ der Raum der reellwertigen, stetigen Funktionen über $X$ . Die bairesche σ-Algebra ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ wird durch die Mengen

\{x\in X\colon f(x)>0\}

erzeugt, wobei $f\in C(X,\mathbb {R} )$ .

Eigenschaften

Die gleiche σ-Algebra wird durch die beschränkten, stetigen Funktionen erzeugt.
Die σ-Algebra wird durch die Mengen $f^{-1}(\{0\})$ mit $f\in C(X,\mathbb {R} )$ erzeugt.

Vergleich zu anderen σ-Algebren

In einem metrischen Raum $(X,d)$ gilt ${\mathcal {B}}(X)={\mathcal {B}}_{0}(X)$ .
Sei $T$ eine überabzählbare Menge und $X=\mathbb {R} ^{T}$ (beachte, $X$ ist nicht metrisierbar). Dann ist ${\mathcal {B}}_{0}(X)<{\mathcal {B}}(X)$ , aber ${\mathcal {B}}_{0}(X)={\mathcal {E}}(X,X')$ wobei ${\mathcal {E}}(X,X')$ die zylindrische σ-Algebra bezeichnet.

Baire-Menge

Eine Menge in ${\mathcal {B}}_{0}(X)$ heißt Baire-Menge. Ein Maß ${\displaystyle \mu$ heißt Baire-Maß.

Eigenschaften

Jede Baire-Menge ist durch eine abzählbare Familie von Funktionen bestimmt, das heißt sie haben die Form

\{x\colon (f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{n}(x),\dots )\in B\},\;f_{i}\in C(X,\mathbb {R} ),\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{\infty }),

und alle Mengen dieser Form sind Baire-Mengen und

C(X,\mathbb {R} )

kann durch

C_{b}(X,\mathbb {R} )

ersetzt werden.

Literatur

Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, doi:10.1007/978-3-540-34514-5 (Kapitel 6).
R. F. Wheeler: A survey of Baire measures and strict topologies. In: Exposition. Math. Band 77, 1983, S. 97–190.

Einzelnachweise

1 2 Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.
↑ Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1).
↑ Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374.
↑ Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.

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[BogachevMT2-1] 1 2 Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 12, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.

[2] Vakhania, N.N., Tarieladze, V.I., Chobanyan, S.A: Probability Distributions on Banach Spaces. Hrsg.: Springer. Dordrecht 1987 (Kapitel 1).

[3] Vladimir I. Bogachev: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 374.

[4] Vladimir I. Bogachev: Measure Theory: Volume 2. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg. 2007, S. 13, doi:10.1007/978-3-540-34514-5.