Übergangshalbgruppe

In der Theorie der stochastischen Prozesse wird das zeitliche Veränderungsverhalten von Markow-Prozessen durch Abbildungen ${\displaystyle P^{t}}$ (mit Zeitparameter ${\displaystyle t\geq 0}$) beschrieben, die eine sogenannte Übergangshalbgruppe bilden, genauer einen Halbgruppenhomomorphismus. Die Veränderung im Zeitintervall ${\displaystyle [0,s+t]}$ lässt sich zerlegen in die Veränderung während ${\displaystyle [0,s]}$ und die Veränderung während ${\displaystyle [s,s+t].}$ (${\displaystyle \circ }$ bezeichne die Hintereinanderausführung.)

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{[0,s]}\circ P^{[s,s+t]}=P^{[0,s+t]}}$.

Bei zeitlich homogenen Prozessen ist die Veränderung ${\displaystyle P^{[s,s+t]}}$ unabhängig von ${\displaystyle s}$ und hängt nur von der Länge ${\displaystyle t}$ des Intervalls ab. In der Schreibweise ${\displaystyle P^{t}:=P^{[0,t]}(=P^{[s,s+t]})}$ hat ${\displaystyle (P_{t})}$ folgende Eigenschaft:

${\displaystyle \forall \,s,t\in \mathbb {R} _{\geq 0}:\quad P^{t}\circ P^{s}=P^{s+t}}$.

Die Komposition von solchen die Veränderung während der Zeit ${\displaystyle s}$ beschreibenden Abbildungen ${\displaystyle P^{s}}$ ist also verträglich mit der Addition des Zeitparameters. Mit anderen Worten, ${\displaystyle P}$ ist ein Halbgruppenhomomorphismus zwischen der von Zeitparameter und der Additionsoperation gebildeten Halbgruppe ${\displaystyle ([0,\infty ),+)}$ und der Halbgruppe ${\displaystyle ((P^{s})_{s\geq 0},\circ )}$ (Transformationshalbgruppe).

In abkürzender Sprechweise spricht man schlicht von einer Halbgruppe und bezeichnet als Übergangshalbgruppe die von den Übergangskernen eines zeithomogenen Markow-Prozesses gebildete. Die Verträglichkeit der Addition im Zeitparameter und die Hintereinanderausführung von Kernen wird durch die Chapman-Kolmogorow-Gleichungen beschrieben. Die Definition der Übergangshalbgruppe macht es auf diese Weise möglich, Erkenntnisse der Halbgruppentheorie auf Markow-Prozesse anzuwenden.

Übergangshalbgruppen definieren einen Markow-Operator.