Markow-Operator

Ein Markow-Operator bezeichnet in der Stochastik und der Ergodentheorie einen Operator auf einem passenden Funktionenraum, der beschränkte, messbare Funktionen auf ebensolche abbildet und dabei die Masse erhält. Eng verknüpft mit dem Begriff ist der Begriff der Markow-Halbgruppe.

Die Terminologie ist nicht ganz einheitlich in der Literatur. Häufig versteht man unter einem Markow-Operator einen Integraloperator

${\displaystyle (P_{t}f)(x)=\int _{E}f(y)p_{t}(x,\mathrm {d} y),\quad x\in E}$,

der durch einen Wahrscheinlichkeitskern ${\displaystyle p_{t}(x,A)}$ definiert wurde, und bezeichnet die Übergangshalbgruppe ${\displaystyle \{P_{t}\}_{t\geq 0}}$ als Markow-Halbgruppe. Markow-Operatoren und deren Markow-Halbgruppen lassen sich aber auch ganz abstrakt definieren, ohne dass eine solche Kern-Darstellung existieren muss und diese werden im Artikel behandelt. Damit eine Kern-Darstellung existiert, darf der zugrundeliegende Messraum nicht beliebig sein und muss gewisse gute Eigenschaften besitzen, wie es zum Beispiel bei einem polnischen Raum der Fall ist. Eine dieser Eigenschaften ist, dass sich ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)}$ auf der Produkt-σ-Algebra überhaupt in einen Kern zerlegen lässt.

Im Artikel behandeln wir lineare Markow-Operatoren, es können aber auch nicht-lineare Markow-Operatoren betrachtet werden. Des Weiteren meinen wir mit einem Markow-Operator einen Operator auf den messbaren Funktionen, dieser induziert aber auch einen Markow-Operator auf den Maßen, die dazugehörige Halbgruppe nennen wir duale Halbgruppe.

Markow-Operatoren sind nach Andrei Markow benannt.