Abelsche Integralgleichung

Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art. Sie hat die Form:

${\displaystyle f(h)=\int _{0}^{h}{\frac {u(y)}{\sqrt {h-y}}}\,\mathrm {d} y}$.

wobei ${\displaystyle f}$ vorgegeben und ${\displaystyle u}$ die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

${\displaystyle f(h)=\int _{0}^{h}u(y)K(h,y)\mathrm {d} y}$

definiert mit einer Kernfunktion ${\displaystyle K}$. Speziell für Kernfunktionen ${\displaystyle K}$ der Form

${\displaystyle K(h,y)={\frac {1}{{(h-y)}^{a}}}}$

mit ${\displaystyle 0<a<1}$ gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die Eulersche Betafunktion. Es ergibt sich:

${\displaystyle u(y)={\frac {\sin(\pi a)}{\pi }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{0}^{y}{(y-x)}^{(a-1)}f(x)\mathrm {d} x}$

Bei der abelschen Integralgleichung ist ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$.

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für ${\displaystyle 0<a<1}$ ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle u}$ wird auch als Abel-Transformation bezeichnet, das heißt ${\displaystyle f}$ ist die Abel-Transformierte von ${\displaystyle u}$. Die durch die erwähnte Lösungsmethode für ${\displaystyle 0<a<1}$ gelieferte Formel für ${\displaystyle u}$ ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.