Alternierende Gruppe

Die alternierende Gruppe vom Grad ${\displaystyle n}$ besteht aus allen geraden Permutationen einer ${\displaystyle n}$-elementigen Menge. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{n}}$ gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden symmetrischen Gruppen ${\displaystyle S_{n}}$. Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe ${\displaystyle A_{5}}$ zu. Dass sie der einzige nicht-triviale Normalteiler von ${\displaystyle S_{5}}$ ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des Satzes von Abel-Ruffini. Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke lösbar sind.