Baryzentrische Koordinaten

Baryzentrische Koordinaten (auch homogene baryzentrische Koordinaten) dienen in der linearen Algebra und in der Geometrie dazu, die Lage von Punkten in Bezug auf eine gegebene Strecke, ein gegebenes Dreieck, ein gegebenes Tetraeder oder allgemeiner ein gegebenes Simplex zu beschreiben.

Ebene baryzentrische Koordinaten eines Punktes ${\displaystyle S}$ kann man sich als Verhältnisse von drei Massen ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ vorstellen, die sich in den Ecken eines vorgegebenen Dreiecks befinden und deren Schwerpunkt ${\displaystyle S}$ ist (siehe Bild). Da es dabei nur auf Verhältnisse ankommt, schreibt man ${\displaystyle (m_{1}:m_{2}:m_{3})}$. Sind alle Massen gleich, ist ${\displaystyle S}$ der geometrische Schwerpunkt des Dreiecks und hat die baryzentrischen Koordinaten ${\displaystyle (1:1:1)}$. Ihre geometrische Bedeutung erhalten die baryzentrischen Koordinaten durch die folgenden Eigenschaften: Im 1-Dimensionalen ist das Massenverhältnis gleich einem Verhältnis von Teilstrecken (siehe 2. Bild), im 2-Dimensionalen sind die Massenverhältnisse gleich Flächenverhältnissen von Teildreiecken.

Baryzentrische Koordinaten wurden zuerst von A. F. Möbius 1827 in seinem Buch Der baryzentrische Calcul eingeführt. Sie sind ein Spezialfall homogener Koordinaten. Ein wesentlicher Unterschied zu den üblichen homogenen Koordinaten, z. B. in der Ebene, ist die Beschreibung der Ferngerade durch die Gleichung ${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=0}$ statt durch ${\displaystyle x_{3}=0}$.

Insbesondere in der Dreiecksgeometrie spielen die baryzentrischen Koordinaten, neben den trilinearen Koordinaten, eine wesentliche Rolle. Überall, wo es um Verhältnisse von Strecken geht, wie zum Beispiel in dem Satz von Ceva, sind sie ein geeignetes Werkzeug. Aber nicht nur in der Geometrie, sondern auch im Bereich des computer-aided Design verwendet man sie zur Erzeugung von dreieckigen Flächenstücken, den dreieckigen Bézierflächen.