Quartische Gleichung

Eine quartische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4. Grades, traditionell auch biquadratische Gleichung genannt, hat die Form

${\displaystyle Ax^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}$

mit Koeffizienten ${\displaystyle A,B,C,D,E}$ und ${\displaystyle A\neq 0}$ aus einem Körper ${\displaystyle K}$ mit Charakteristik ${\displaystyle 0}$, wobei ${\displaystyle x}$ dann aus der ${\displaystyle K}$-Algebra stammt.

Im Folgenden werden als Körper nur die reellen oder die komplexen Zahlen betrachtet.

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich die Gleichung bis auf die Reihenfolge eindeutig in die Form

${\displaystyle A(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0}$

bringen, wobei ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ und ${\displaystyle x_{4}}$ die nicht notwendigerweise verschiedenen vier komplexen Lösungen der Gleichung sind.

Ist ${\displaystyle B=0}$ und ${\displaystyle D=0}$, dann lässt sich die Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückführen. Heutzutage, insbesondere in der Schulmathematik, ist es üblich, nur diese Spezialform biquadratische Gleichung zu nennen, obwohl Biquadrat traditionell eine allgemeinere Bedeutung hat.