Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die sich in der Form

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\quad }$

mit ${\displaystyle a\neq 0}$ schreiben lässt. Hierbei sind ${\displaystyle a,b,c}$ Koeffizienten; ${\displaystyle x}$ ist die Unbekannte der Gleichung. In der Mathematik, bzw. genauer der Algebra, interessiert man sich für die Lösungen von quadratischen Gleichungen (aber auch allgemeineren Gleichungen). Das bedeutet, dass für die Unbekannte ${\displaystyle x}$ all jene Zahlen gefunden werden sollen, durch die, wenn man ${\displaystyle x}$ durch sie ersetzt, eine wahre Aussage wie ${\displaystyle 0=0}$ entsteht. Ein Beispiel ist die quadratische Gleichung ${\displaystyle x^{2}-4=0}$. Auflösen dieser ergibt, dass ${\displaystyle x=2}$ und ${\displaystyle x=-2}$ die Lösungsmenge bilden. Durch eine Probe kann dies schnell mit den Grundrechenarten nachvollzogen werden: Es gilt ${\displaystyle 2^{2}=4}$ und ${\displaystyle (-2)^{2}=(-2)\cdot (-2)=4}$, also ${\displaystyle (\pm 2)^{2}-4=4-4=0}$, womit wegen ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ die wahre Aussage ${\displaystyle 0=0}$ entsteht. Alle anderen Werte für ${\displaystyle x}$ werden im Gegensatz dazu nach Einsetzen stets zu ${\displaystyle x^{2}-4\not =0}$ führen, also die Gleichung nicht lösen. Daher ist die Lösungsmenge von ${\displaystyle x^{2}-4=0}$ genau gegeben durch ${\displaystyle \{-2,2\}}$. Ist wie in diesem Beispiel zusätzlich ${\displaystyle b=0}$, spricht man bei ${\displaystyle ax^{2}+c=0}$ von einer reinquadratischen Gleichung.

Die Lösungen einer allgemeinen quadratischen Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ lassen sich anhand der Formel

${\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

explizit bestimmen. Diese wird als a-b-c-Formel oder Mitternachtsformel bezeichnet. Es bezeichnet das Symbol ${\displaystyle {\sqrt {}}}$ die Quadratwurzel. Im Bereich der reellen Zahlen kann eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Lösungen besitzen. Ist der Ausdruck ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ unter der Wurzel negativ, so existiert keine Lösung; ist er Null, so existiert eine Lösung; wenn er positiv ist, so existieren zwei Lösungen. Insbesondere lässt sich die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung oberer Form bereits durch eine Untersuchung der Größe ${\displaystyle b^{2}-4ac}$, auch genannt Diskriminante, bestimmen, ohne die Lösungen selbst genau berechnen zu müssen.

Die linke Seite der Gleichung ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ ist der Term einer quadratischen Funktion (allgemeiner ausgedrückt: ein Polynom zweiten Grades) ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$; der Funktionsgraph dieser Funktion im kartesischen Koordinatensystem ist eine Parabel. Geometrisch beschreibt die quadratische Gleichung ${\displaystyle f(x)=0}$ – falls vorhanden – die Nullstellen dieser Parabel.

Konkrete Anwendungen haben quadratische Gleichungen etwa in Situationen der elementaren Geometrie, da quadratische Terme mit Flächeninhalten von Rechtecken korrespondieren können. In der modernen Mathematik, aber auch im Umfeld mathematischer Modelle, tauchen sie in ihrer einfachsten Form hingegen eher selten auf, oder sind lediglich ein einfacher Spezialfall einer weitaus umfangreicheren Theorie (etwa jene der algebraischen Gleichungen oder quadratischen Formen). Dennoch gehören quadratische Gleichungen und ihre Auflösung fest zum Lehrplan an vielen Schulen weltweit, da sie Beispiele von Gleichungen sind, die mit in der Schulmathematik zugänglichen Mitteln behandelbar sind, was auf die meisten Gleichungen nicht zutrifft. Dahinter steckt auch der Gedanke, Schüler auf den Themenkomplex „Gleichungen“ im Allgemeinen anhand eines Beispiels vorzubereiten.

In der höheren Algebra bzw. algebraischen Zahlentheorie werden quadratische Gleichungen auch über anderen Körpern betrachtet. Im Falle der komplexen Zahlen haben sie stets mindestens eine Lösung, womit der in der reellen Situation mögliche Fall „keine Lösung“ entfällt. Im Fall endlicher Primkörper führt die Frage nach Lösbarkeit zum quadratischen Reziprozitätsgesetz.