Endlicher Körper

In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein endlicher Körper oder Galoiskörper (nach Évariste Galois) ein Körper mit einer endlichen Anzahl von Elementen, d. h. eine endliche Menge, auf der zwei als Addition und Multiplikation verstandene Grundoperationen definiert sind, sodass die Menge zusammen mit diesen Operationen alle Anforderungen eines Körpers erfüllt.

Endliche Körper spielen eine wichtige Rolle in der Kryptographie und der Codierungstheorie (Vorwärtsfehlerkorrektur, zum Beispiel beim Reed-Solomon-Code). Daneben sind sie grundlegend für das Studium der Primideale im Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Körpererweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ im Rahmen der algebraischen Zahlentheorie. Man vergleiche hierzu auch Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen.

Außerdem sind endliche Körper in der Geometrie als Koordinatenbereiche endlicher Geometrien von Bedeutung. Sie sind allgemeiner Koordinatenbereiche von Ebenen und Räumen in der synthetischen Geometrie. Mit Hilfe der Addition und Multiplikation in einem endlichen Körper werden hier Verknüpfungen mit schwächeren algebraischen Eigenschaften definiert, die aus dem Körper z. B. einen Ternär- oder Quasikörper machen. Auf diesen verallgemeinerten Körpern können dann projektive und affine Ebenen konstruiert werden.

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist immer eine Primzahlpotenz. Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ und jede positive natürliche Zahl ${\displaystyle n}$ existiert (bis auf Isomorphie) genau ein Körper mit ${\displaystyle p^{n}}$ Elementen, der mit ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$ oder ${\displaystyle \operatorname {GF} (p^{n})}$ bezeichnet wird. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\operatorname {GF} (p)}$ ist der Körper der Restklassen ganzer Zahlen modulo ${\displaystyle p}$.

E. H. Moore prägte wohl 1893 den englischen Begriff Galois field zu Ehren von Évariste Galois, der bereits mit gewissen imaginären Zahlen modulo ${\displaystyle p}$ gerechnet hat.

Der Satz von Wedderburn sagt aus, dass die Multiplikation in einem endlichen Schiefkörper notwendig kommutativ ist. Das heißt, dass endliche Schiefkörper stets endliche Körper sind.