Dilatation (Geometrie)
Als Dilatation bezeichnet man in der Geometrie eine Kollineation einer affinen Ebene oder eines affinen Raumes, mit der Eigenschaft, dass
- jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abgebildet wird.
Dilatationen sind spezielle Affinitäten. Genauer gilt:
- Eine von der Identität verschiedene Dilatation ist entweder eine zentrische Streckung (mit einem Fixpunkt) oder eine Parallelverschiebung (ohne Fixpunkt).
In der synthetischen Geometrie nennt man zentrische Streckungen auch Homothetien. Sie haben dort einen direkten Bezug zur affinen Form des großen Satzes von Desargues (siehe Bild). Parallelverschiebungen nennt man auch Translationen. Sie haben Bezug zur affinen Form des kleinen Satzes von Desargues. Die Hintereinanderausführung zweier Translationen ist immer auch eine Translation. Die analoge Aussage gilt für Homothetien nicht. Zum Beispiel ist die Hintereinanderausführung zweier Punktspiegelungen eine Translation und keine Homothetie. Alle Dilatationen bilden eine Gruppe und alle Translationen eine Untergruppe davon. Bettet man die zugrunde liegende Ebene/Raum in eine projektive Ebene/Raum ein, so wird aus einer Dilatation eine Zentralkollineation mit der Fern-Gerade/-Hyperebene als Achse. Genauer: aus einer Translation bzw. Homothetie wird dann eine Elation bzw. Homologie, je nachdem, ob das Zentrum auf der Achse liegt oder nicht.
In einem euklidischen Raum lässt sich
- eine Streckung am Nullpunkt durch
- eine Translation durch
beschreiben. Während Translationen Streckenlängen invariant lassen, verlängert oder verkürzt eine zentrische Streckung Strecken um denselben Faktor. In der oberen Figur des zweiten Bildes wird das blaue Dreieck durch eine zentrische Streckung an dem Punkt auf das grüne Dreieck abgebildet. In der unteren Figur geht das blaue Dreieck durch eine Translation in das (kongruente) grüne Dreieck über. Dilatationen gehören zu den Ähnlichkeitsabbildungen.
Man beachte: Achsenaffinitäten sind keine Dilatationen.