Fokker-Planck-Gleichung

Die Fokker-Planck-Gleichung (FPG, nach Adriaan Daniël Fokker (1887–1972) und Max Planck (1858–1947)) ist eine partielle Differentialgleichung. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ${\displaystyle P(x)}$ unter der Wirkung von Drift ${\displaystyle A(x,t)}$ und Diffusion ${\displaystyle B(x,t)}$. In ihrer eindimensionalen Form lautet die Gleichung:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\Big [}A(x,t)\,P(x,t){\Big ]}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}{\Big [}B(x,t)\,P(x,t){\Big ]}}$

In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist diese Gleichung auch bekannt als Kolmogorov-Vorwärtsgleichung und in diesem Fall nach dem Mathematiker Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow benannt. Sie ist eine lineare parabolische partielle Differentialgleichung, die sich nur für einige Spezialfälle (einfache Körpergeometrie; Linearität der Randbedingungen, des Drift- und des Diffusionskoeffizienten) analytisch exakt lösen lässt.

Für verschwindende Drift ${\displaystyle A(x,t)=0}$ und konstante Diffusion ${\displaystyle B(x,t)=B}$ geht die FPG in die Diffusions- (oder auch Wärmeleitungs-) Gleichung über.

In ${\displaystyle D}$ Dimensionen lautet die Fokker-Planck-Gleichung

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}P(\mathbf {x} ,t)=-\sum _{i=1}^{D}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\Big [}A_{i}(x_{1},\ldots ,x_{D})P(\mathbf {x} ,t){\Big ]}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{D}\sum _{j=1}^{D}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}{\Big [}B_{ij}(x_{1},\ldots ,x_{D})P(\mathbf {x} ,t){\Big ]}}$

Von der Smoluchowski-Gleichung spricht man, wenn ${\displaystyle x}$ die Positionen der Teilchen im System beschreibt.

Für Markovsche Prozesse geht die FPG aus der Kramers-Moyal-Entwicklung hervor, die nach der zweiten Ordnung abgebrochen wird.

Von großer Bedeutung ist die äquivalente Beschreibung von Problemen durch Langevin-Gleichungen, die im Vergleich zur FPG die mikroskopische Dynamik stochastischer Systeme beschreiben und – im Gegensatz zur FPG – im Allgemeinen nichtlinear sind.