Kramers-Moyal-Entwicklung

Die Kramers-Moyal-Entwicklung ist in der Physik eine Taylor-Entwicklung einer Mastergleichung, welche die Mastergleichung als Integro-Differentialgleichung in eine partielle Differentialgleichung umformt. Entwickelt wird dabei nach der Schrittgröße ${\displaystyle \Delta x}$:

${\displaystyle {\frac {\partial p(x,t)}{\partial t}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x^{n}}}{\Big [}a_{n}(x)p(x,t){\Big ]}}$

mit

${\displaystyle a_{n}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }(\Delta x)^{n}W(x,\Delta x)\,\mathrm {d} (\Delta x)}$

Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer vom Ort ${\displaystyle x}$ abhängigen Aufenthaltswahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$. Dabei werden kontinuierlich verteilte Schrittgrößen in Raum ${\displaystyle \Delta x=x-x'}$ und Zeit ${\displaystyle \Delta t}$ betrachtet. ${\displaystyle W(x,\Delta x):=W(x'|x)}$ ist die Übergangswahrscheinlichkeitsrate. Abbruch der Reihe in zweiter Ordnung ergibt die Fokker-Planck-Gleichung.

Die Entwicklung ist nach Hendrik Anthony Kramers und José Enrique Moyal benannt.

Das Pawula-Theorem besagt, dass falls das dritte Glied der Entwicklung verschwindet, auch alle höheren Terme verschwinden. Falls die Entwicklung nicht mit dem dritten Glied abbricht, enthält sie unendlich viele Beiträge.