Gross-Pitaevskii-Gleichung

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (nach Eugene P. Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski) beschreibt die zeitliche Entwicklung des Kondensats ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$ eines quantenmechanischen Vielteilchensystems in einem externen Potential ${\displaystyle V({\vec {r}},t)}$:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}^{2}+V({\vec {r}},t)+g|\psi |^{2}\right]\psi }$

Die Funktion ${\displaystyle \psi ({\vec {r}},t)}$ ist der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter ${\displaystyle g\,}$ beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend (${\displaystyle g<0\,}$) oder abstoßend (${\displaystyle g>0\,}$) ist.

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von bosonischen Quantenflüssigkeiten wie Bose-Einstein-Kondensaten (BEC), Supraleitern und Supraflüssigkeiten. Sie beinhaltet unter anderem solitäre Lösungen (nichtlineare Wellen) und Vortices (quantisierte Wirbel). Sie entspricht einer Molekularfeldnäherung mit der Wechselwirkung mit dem mittleren Feld der übrigen Bosonen im nichtlinearen Term.

Berücksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen (Ladung ${\displaystyle q\,}$, Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$), so muss man den Impulsoperator ersetzen: ${\displaystyle -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}\rightarrow -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}+q{\vec {A}}}$. In diesem Fall wird aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung die Ginzburg-Landau-Gleichung, die der phänomenologischen Beschreibung von Supraleitern dient.