Halbkörper (Geometrie)

Ein Halbkörper (englisch: Semifield) ist in der synthetischen Geometrie ein Quasikörper, in dem beide Distributivgesetze gelten. Wie die Quasikörper treten solche Halbkörper als Koordinatenbereiche affiner und projektiver Translationsebenen auf. Halbkörper sind eine Verallgemeinerung der Schiefkörper und der Alternativkörper: Die multiplikative Verknüpfung im Halbkörper muss weder das Assoziativgesetz noch die (schwächere) Alternativität erfüllen.

Ein Halbkörper, der kein Alternativkörper ist, wird als echter Halbkörper (englisch: proper semifield) bezeichnet. Es existieren echte endliche Halbkörper, die also keine Körper sind, dagegen ist die multiplikative Verknüpfung in endlichen Alternativkörpern und endlichen Schiefkörpern stets assoziativ und kommutativ. Damit sind echte endliche Halbkörper (und Fastkörper) unter den Ternärkörpern, also unter allen endlichen algebraischen Strukturen, die als Koordinatenbereiche für nicht-desarguessche affine oder projektive Ebenen in Betracht kommen, diejenigen, die einem Körper am nächsten kommen. Endlichen Halbkörpern kann analog zu Körpern eine Primzahl als Charakteristik zugeordnet werden.

Eine projektive Ebene, die mit einem Halbkörper K koordinatisiert werden kann, gehört in der Klassifikation projektiver Ebenen einer der Lenz-Klassen V oder VII an, ist K kein Alternativkörper, dann der Lenz-Klasse V.