Hamilton-Jacobi-Formalismus

Ziel des Hamilton-Jacobi-Formalismus (benannt nach den Mathematikern William Rowan Hamilton und Carl Gustav Jakob Jacobi) der Klassischen Mechanik ist es, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mittels einer besonderen kanonischen Transformation

${\displaystyle (q,p)\rightarrow (q',p')}$

zu vereinfachen. Dadurch wird eine neue Hamilton-Funktion erzeugt, die identisch Null ist:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=0}$

Dies hat zur Folge, dass sowohl die transformierten generalisierten Ortskoordinaten ${\displaystyle q'}$, als auch ihre kanonisch konjugierten Impulskoordinaten ${\displaystyle p'}$ Erhaltungsgrößen sind, dass also alle dynamischen Größen in der neuen Hamilton-Funktion zyklische Koordinaten sind:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial p'_{k}}}&={\dot {q}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad q'_{k}=\mathrm {const} \\-{\frac {\partial {\tilde {H}}}{\partial q'_{k}}}&={\dot {p}}'_{k}=0\quad \Leftrightarrow \quad p'_{k}=\mathrm {const} .\end{aligned}}}$

Diese transformierten Bewegungsgleichungen sind trivial, das Problem verlagert sich stattdessen auf das Finden einer passenden Erzeugenden ${\displaystyle S}$. Indem man ihre partielle Ableitung nach der Zeit zur untransformierten Hamilton-Funktion addiert, erhält man die transformierte Hamilton-Funktion:

${\displaystyle {\tilde {H}}(q',p',t)=H(q,p,t)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$

Dabei wird speziell eine erzeugende Funktion ${\displaystyle S(q,p',t)}$ gewählt, die von den alten Ortskoordinaten ${\displaystyle q}$ und den neuen (konstanten) Impulsen ${\displaystyle p'}$ abhängt, so dass

${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial q_{k}}}\ ,\quad q'_{k}={\frac {\partial S(q_{k},p'_{k},t)}{\partial p'_{k}}}.}$

Eingesetzt in ${\displaystyle {\tilde {H}}=0}$ ergibt sich die Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung für ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle H\!\left(q_{k},{\frac {\partial {S}}{\partial q_{k}}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$

Sie ist eine partielle Differentialgleichung in den Variablen ${\displaystyle q_{k}}$ und ${\displaystyle t}$ für die Hamiltonsche Wirkungsfunktion ${\displaystyle S}$ (die Verwendung des Begriffs „Wirkung“ wird weiter unten begründet).