Jacobi-Polynom

Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome, sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall ${\displaystyle [-1,1]}$ bezüglich der Gewichtsfunktion ${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta >-1}$. Sie haben die explizite Form

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{m},}$

oder mit Hilfe der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta$ ;\alpha +1;{\frac {1-x}{2}}\right).}