Jacobi-Transformation

In der Mathematik ist die Jacobi-Transformation eine nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannte Integraltransformation, die die Jacobi-Polynome ${\displaystyle P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$ als Kerne der Transformation verwendet.

Die Jacobi-Transformation einer Funktion ${\displaystyle F}$ ist

${\displaystyle J\{F\}=f^{\alpha ,\beta }(n)=\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\ F(x)\ dx}$.

Die inverse Jacobi-Transformation ist gegeben durch

${\displaystyle J^{-1}\{f^{\alpha ,\beta }(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\delta _{n}}}f^{\alpha ,\beta }(n)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x),\quad {\text{mit}}\quad \delta _{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}}}$.